Om schack och matematik

En klassisk fråga om schack är huruvida det bör räknas som sport, konst eller vetenskap. Det kan väl för all del ha element av samtliga, men för mig, som spelat schack på tävlingsnivå i tre decennier, känns svaret ändå givet: schack är i första hand en sport. Det är tävlingsmomentet som mer än något annat gör spelet så nervkittlande, främst då man själv för pjäserna, men också vid ringside. Numera direktsänds varje drag som spelas av världseliten över Internet, till glädje för fans världen över. Den just nu pågående VM-matchen mellan regerande världsmästaren Viswanathan Anand och utmanaren Boris Gelfand är visserligen så här långt en besvikelse - samtliga sex avverkade partier har slutat remi efter föga upphetsande spel - men det finns andra spelare i världseliten som det slår desto mer gnistor om: exvärldsmästaren Vladimir Kramnik, det armeniske schackgeniet Levon Aronian, och framför allt det 21-årige stjärnskottet Magnus Carlsen från Norge som med sitt dynamiska spel lyckats besätta förstaplatsen på världsrankingen.

Därtill kan schacket, liksom fotbollen, glimta till av skönhet, på ett sätt som kan få en att börja tala om konst. Men precis som med fotbollen rör det sig om en ytterst begränsad konstform, och skönhetsvärdet förblir enligt min mening underordnat kampen.

Som vetenskap ligger schacket närmast matematiken. Ja, formellt sett kan det i själva verket ses som en del av matematiken, närmare bestämt som ett ytterst begränast specialfall av den gren av matematiken som benämns kombinatorisk spelteori.¹ Visst kan man som schackentusiast fascineras av jakten på sanningen om en viss ställning och ägna timmar, dagar eller rentav veckor åt att söka svaret - men, likväl, som vetenskap betraktad är schackspelet enligt min mening blott en fattig och förkrympt kusin till matematikens centrala delar. Ett aldrig så vackert schackproblem har, om man jämför det med den högre matematiken, något trivialt och närmast sudokuaktigt över sig. G.H. Hardy uttrycker i sin berömda essä A Mathematician's Apology från 1940 (som jag också tidigare hänvisat till här på bloggen) saken på följande vis:

A chess problem is genuine mathematics, but it is in some way ‘trivial’ mathematics. However ingenious and intricate, however original and surprising the moves, there is something essential lacking. Chess problems are unimportant. The best mathematics is serious as well as beautiful—‘important’ if you like, but the word is very ambiguous, and ‘serious’ expresses what I mean much better. [...] We may say, roughly, that a mathematical idea is ‘significant’ if it can be connected, in a natural and illuminating way, with a large complex of other mathematical ideas. Thus a serious mathematical theorem, a theorem which connects significant ideas, is likely to lead to important advance in mathematics itself and even in other sciences. No chess problem has ever affected the general development of scientific thought: Pythagoras, Newton, Einstein have in their times changed its whole direction.

Visst finns inslag av cirkelresonemang i detta argument - att naturvetenskapen är större och viktigare än schackspelet tas för givet, varför den som från början anser att det som händer på schackbrädet är viktigare än allt vid sidan om knappast låter sig övertygas - men det är OK, och återspeglar att frågor om vad som är viktigt respektive oviktigt är värderingsfrågor snarare än faktafrågor med objektivt riktiga svar.

Den som aldrig studerat den högre matematiken har knappast någon aning om vad detta "something essential" är som finns i matematiska satser men saknas i schackproblem. Och det är svårt att förklara. Det finns dock sätt att vidga schackets ramar för att ge en förnimmelse av hur verklig matematik på forskningsnivå kan te sig. Ett strålande exempel ges av min Chalmerskollega och samarbetspartner Johan Wästlund, som för ett år sedan ställde följande fråga:

Is there a chess position with a finite number of pieces on the infinite chess board Z² such that White to move has a forced win, but Black can stave off mate for at least n moves for every n?

Här finns flera element som är typiska för den högre matematiken: generaliseringen från ändlig domän (det vanliga 64-rutiga brädet) till oändlig, och fokuseringen på den generella frågeställningen om huruvida objekt - i detta fall pjäskonfigurationer - med vissa grundläggande egenskaper existerar, snarare än på en enskild konfiguration.

Jag skall erkänna att min första (och helt missriktade) reaktion då jag såg Johans frågeställning var något åt hållet "Va? Det var sannerligen inte likt Johan att ställa en så korkad fråga." Min felaktiga tankegång, alltför bunden av hur det fungerar i vanligt schack på ett ändligt bräde, var följande. Om Svart kan hålla ut obegränsat länge, så har han ett drag till hands som låter honom göra det (ty om varje drag blott garanterar ändlig livslängd så finns ett maximum av garanterade livslängder bland de tillgängliga dragen, vilket motsäger antagandet om att han kan hålla ut obegränsat länge). I och med det finns, oavsett vad Vit tar sig för, samma möjlighet för Svart att hålla schackmatt obsgränsat långt bort i framtiden även i nästa drag, och i nästa, och i nästa... i all oändlighet, så att Vit alltså inte alls kan forcera vinst.²

Om det alltid (som i vanligt schack) blott funnes ett ändligt antal drag för Svart att välja bland, så skulle mitt argument vara korrekt. Men på det oändliga brädet är situationen en annan. Om t.ex. Svart har ett torn som har helt fri sikt i någon riktning (framåt, säg), så finns oändligt många drag att välja mellan: tornet kan flyttas hur många steg framåt som helst. Och då skulle man kunna tänka sig en situation där om tornet går 1 steg framåt så kan Vit göra matt i 1 drag, om det går 2 steg framåt kan Vit göra matt i 2 drag, ..., om det går 74806 steg framåt kan Vit göra matt i 74806 drag, osv i all oändlighet. Vad Svart än gör kan Vit forcera matt, men det finns ingen på förhand given gräns för hur länge Svart kan hålla ut.

Min nästa reaktion, sedan jag begripit detta, var "OK, frågan är alltså icketrivial. Men det är väldigt långsökt att tänka sig att något sådant skulle kunna hända, så svaret borde väl ändå rimligtvis vara nej?" Döm om min häpnad då jag fick klart för mig att svaret tvärtom är ja! Ett par av Johans korrespondenter på Math Overflow visar detta genom att leverera explicita exempel på ställningar av det slag som jag i min naivitiet dömde ut som "långsökt". En titt på dessa lösningar rekommenderas! Jag tror att de läsare som delar mitt intresse för schack och/eller matematik kommer att instämma i att dessa exempel rentav besitter ett visst... skönhetsvärde.

Fotnot

1) Se gärna min uppsats Objective Truth versus Human Understanding in Mathematics and in Chess, publicerad 2007 i tidskriften med det charmerande namnet The Montana Mathematics Enthusiast, för andra synpunkter på förhållandet mellan schack och matematik.

2) Eller, med mer kortfattad matematikerjargong: Att svaret på Johans fråga måste vara nej följer av kompakthet.

Om vikten av svensk matematikforskning

Vetenskapsrådet (VR) arrangerade idag en hearing med rubriken Hur stärker vi svensk matematikforskning?. Som utgångspunkt för mötet togs rapporten Evaluation of Swedish Research in Mathematics av en internationell expertpanel ledd av Uppsalafysikern Ulf Danielsson. Jag var en av dem som inbjudits att i korta anföranden kommentera utvärderingen. SJ och Banverket ville emellertid annorlunda, och jag fick istället ägna förmiddagen bl.a. åt att förgäves försöka få tag i taxi i ett soligt och vackert Gnesta. Följande är vad jag hade tänkt säga.

* * *

Den utvärdering av svensk matematikforskning som Ulf Danielsson här presenterat har redan haft visst inflytande. Det framgår att vår forskning är mycket stark på en rad områden, men utvärderingen pekar också på vissa brister som behöver åtgärdas. Två av de brister som starkast lyfts fram är dels en alltför liten verksamhet inom statistikområdet, dels finansieringssituationen för Institut Mittag-Leffler. Efter att utvärderingen släpptes för drygt ett år sedan har VR beslutat om hyggligt stora insatser på båda dessa områden: 50 MSEK fördelat över fem år till Mittag-Leffler, och 60 MSEK fördelat över fyra år i en specialsatsning på Statistik i empiriska vetenskaper.

De flesta av oss som samlats här idag anser nog att vi behöver en satsning på matematiken som är betydligt bredare och större än så – en uppfattning som utvärderingen (s 61) delar:

På det hela taget konstaterar kommittén att Sverige skulle dra nytta av, och borde ha råd med, mycket mer matematisk forskning än vad som i nuläget finansieras. Matematik är avgörande för utvecklingen av nya teknologier, och att investera i matematik är att investera i Sveriges framtid.

Hur åstadkommer vi en ökad satsning? Vi behöver övertyga våra potentiella finansiärer i VR, SSF, KAW och våra universitetsledningar, regering och riksdag, etc., om vikten av svenska matematikforskning. Och hur gör vi det – vilka argument har vi, och vilka av dessa är effektiva? Jag vill nämna fyra argument.¹ Alla fyra väger enligt min personliga mening tungt, men jag tror dessvärre att bara ett av dem är effektivt då vi skall sälja in oss hos våra finansiärer och ytterst hos svenska skattebetalare och medborgare.

• En levande matematisk forskning är avgörande för det intellektuella klimatet på våra matematikinstitutioner och därmed för kvaliteten på den utbildning i matematik vi ger våra blivande civilingenjörer och andra universitetstudenter. Det här är väldigt viktigt, men jag tror att argumentet är lite för komplicerat, och lite för lite i linje med den allmänt utbredda ”vi skall satsa på den bästa forskningen”-retoriken, för att det skall vara lätt att sälja in i de breda sammanhangen.
  
  
• På samma sätt förhåller det sig med det faktum att 98 eller 99 procent av all matematisk forskning sker utomlands, och att en (åtminstone ur ett snävt nationellt perspektiv) minst lika viktig uppgift som producerandet av våra egna 1-2 procent är att upprätthålla en kunskapsnivå och intellektuell infrastruktur som medger import av de 98-99 procenten. Ur detta perspektiv duger det inte att vi enbart skjuter in oss på de delområden där vi råkar vara mest framstående; vi behöver någorlunda väl täcka upp hela matematiken. Detta är viktigt, men tyvärr inte särskilt säljbart.
  
  
• Jag har ofta känt impulsen att tala för kunskapens egenvärde, om hur utvidgandet av gränserna för mänsklighetens samlade vetande har ett högre värde som inte fångas av snäva BNP-kalkyler, och om matematikens skönhet. Att på detta vis betona matematiken som kulturyttring tror jag inte heller är särskilt säljbart. När jag publicerar mina senaste rön om ickekonvergens hos flykthastigheten för slumpvandring på ickeunimodulära grafers perkolationskluster så är jag lyckligt lottad om jag kommer upp i ett hundratal läsare som tar del av och uppskattar den eventuella skönheten i mina resultat. Det är alltså en extremt elitistisk kultur vi talar om – långt mer elitistisk än opera och Kungliga Dramatiska Teatern. Det är alltför lätt för populisten att bemöta vårt elitistiska skönhetsvurm med att skattepengarna gör större nytta i äldrevården.
  
  
• Istället behöver vi lägga kraft på att sprida och fördjupa det ovan citerade argumentet i utvärderingens slutkläm:
  
  Matematik är avgörande för utvecklingen av nya teknologier, och att investera i matematik är att investera i Sveriges framtid.
  I den utmärkt slagfärdiga broschyren Matematik finns i allt – som Anders Björner, Johan Håstad och Holger Rootzén varit med och arbetat fram – utvecklas detta. Matematiken ligger till grund för all den informationsteknologi vi ser omkring oss, för kryptering och datakompression, för analys av våra genom, för förfinad klimatmodellering, etc etc. Ja ni vet. Härmed är inte sagt att vi enbart skall lyfta fram den tillämpade matematiken. Tvärtom bör vi betona hur viktigt det är att upprätthålla djup och bredd över hela spektret från matematikens mest inomvetenskapliga delar ända ut i de riktiga tillämpningarna och de interdisciplinära samarbeten där vi kavlar upp skjortärmarna och analyserar verkliga data. För att kunna fortsätta blomstra och vara effektiv är den tillämpade matematiken beroende av ett nära samspel med den rena matematiken, som också behöver utvecklas. Jag tror att det är genom att argumentera längs denna linje som vi har en chans att vinna anhängare, och därmed förhoppningsvis också de resurser som skall till för att vi skall kunna fortsätta utveckla vår viktiga verksamhet.
  

Fotnot

1) Jag är fullt på det klara med att min strama uppräkning av de fyra argumenten inte kommer att gå till historien som något av de mer minnesvärda och passionerade försvaren för matematiken. Den som söker ett sådant bör hellre vända sig till G.H. Hardys klassiska och ännu idag läsvärda essä A Mathematician's Apology från 1940, som är ett djupt engagerat, självutlämnande och starkt kontroversiellt försvar för matematisk forskning. Hardy är oförblommerat elitistisk, och fäster enligt min mening på tok för ensidigt avseende vid det tredje argumentet (kunskapens egenvärde och matematikens skönhet) i min uppräkning, medan han kategoriskt (och felaktigt, som det visat sig) dömer ut det fjärde (om matematikens betydelse för vetenskap, teknik och samhälle).

För en gyllene medelväg mellan Hardys passionerade försvarstal och min lite tråkigare framställning vill jag varmt rekommendera intervjun med min Chalmerskollega Torbjörn Lundh på sid 28-29 i senaste numret av Chalmers Magasin.