Om framsteg inom matematiken

Denna bloggpost handlar om forskningsframsteg inom matematiken, och då menar jag verkligen inom på ett sätt som exkluderar (det i och för sig ofantligt viktiga) tillämpandet av matematiska metoder i andra ämnen. En vanlig föreställning är att sådana inommatematiska framsteg utgörs av formulerandet och bevisandet av nya matematiska satser.¹ Det ligger en hel del i denna föreställning, även om den är något grovhuggen, och idag vill jag lyfta fram en annan typ av framsteg som jag anser vara lika viktiga för matematikens framåtskridande, nämligen nya, enklare, kortare och helt enkelt bättre bevis av redan kända och bevisade satser.

Skälet till att den sortens framsteg är viktiga är följande. Matematik är en kumulativ verksamhet, där de framsteg som görs idag bygger på gårdagens, och kan på samma sätt väntas komma att ligga till grund för framtida framsteg. Nya satser och bevis bygger på gamla satser. Om nu dessa gamla satser har så komplicerade och svårtillgängliga bevis att inte dagens och morgondagens matematiker förmår smälta dem, så riskerar det intellektuella tankebygge som matematiken utgör att bli till en koloss på lerfötter där ingen längre begriper hur saker och ting egentligen hänger samman. Genom att lägga fram nya bevis som är enklare och mer lättilgängliga än originalbevisen (men naturligtvis fortsatt korrekta), så underlättar man för nya generationer matematiker att förstå den grund som de sedan hoppas kunna bygga vidare på.

Låt mig berätta om ett framsteg av detta slag som de båda unga franska matematikerna Hugo Duminil-Copin och Vincent Tassion nyligen gjort inom det område där jag själv på 90-talet fick mina främsta genombrott som matematiker: perkolationsteori. Detta område kan kort beskrivas som den gren av sannolikhetsteorin där man studerar modeller för genomsläpplighet i ostrukturerade material och konnektivitet i ostrukturerade nätverk. Det finns en uppsjö modeller inom perkolationsteorin, men en av de mest grundläggande är så kallad kantperkolation på Z^d-gittret med dimension d=2 eller högre. Detta gitter har noder i heltalspunkterna i det d-dimensionella euklidiska rummet, och länkar mellan varje par av närmsta grann-noder (dvs noder på euklidiskt avstånd 1 från varandra); för d=2 bildas på så vis ett kvadratiskt gitter, för d=3 ett kubiskt, och för högre d ett hyperkubiskt. Så långt är alltsammans perfekt strukturerat, men den oordning som är typisk för perkolationsmodeller fås genom att länkar raderas slumpmässigt. Vi fixerar den så kallade perkolationsparametern p mellan 0 och 1, raderar varje länk oberoende av varje annan med sannolikhet 1-p, och behåller den således med sannolikhet p. (Detta fungerar på liknande vis som den perkolationsmodell på bikakegitter som jag diskuterade i en tidigare bloggpost.)

Ett centralt och inte särskilt svårt resultat, som går tillbaka till perkolationsteorins barndom på 1950-talet, är existensen av ett kritiskt värde p_c sådant att existensen av en oändlig sammanhängande komponent i det därvid erhållna oordnade nätverket har sannolikhet 0 om p är i den så kallat subkritiska fasen p<p_c, men 1 om p är i den superkritiska fasen p>p_c. Det kritiska värdet för d=2 bevisades av Harry Kesten 1980 vara 1/2, medan exakta värden för p_c i högre dimensioner ännu inte är kända.

Följande bild av en realisering av denna perkolationsmodell med p=0,51 på Z² är hämtad från Wikipedia.

Detta är bara ett lite stycke av realiseringen, då mönstret fortsätter oändligt långt i alla riktningar. Parametern p är vald strax över det kritiska värdet, vilket garanterar existensen av en oändlig sammanhängande komponent av noder och länkar.

Om vi istället hade valt ett subkritiskt p, så hade vi enbart fått ändliga komponenter. Det betyder att om vi startar i en given nod och bara får gå längs kvarvarande länkar, och om vi med β_n betecknar sannolikheten att vi kan nå minst n längdenheter bort från ursprungsnoden, så går β_n mot 0 då n går mot oändligheten. Ett av perkolationsteorins centrala framsteg på 1980-talet var att det, oavsett dimension d, gäller att så snart p<p_c så går β_n inte bara mot 0, utan gör det exponentiellt snabbt i n (med andra ord: det existerar positiva konstanter a och b sådana att β_n<ae^-bn oavsett n). För den matematiskt obevandrade kan detta resultat synas oskyldigt, men det understryker kraftfullt hur skarp övergången mellan subkritisk och superkritisk perkolation är. Resultatet bevisades av Mikhail Menshikov (1986) och av Michael Aizenman och David Barsky (1987), oberoende av varandra, på var sin sida av den dåvarande järnridån, och med två helt olika bevis. Båda bevisen är tämligen omfattande, och jag minns hur jag som ung och grön doktorand vintern 1991-1992 slet hårt med att smälta och förstå dem. Jag förstod dem till slut, men de är så invecklade att jag idag knappast skulle kunna rekonstruera dem utan att kika i facit.

In i handlingen träder nu de båda herrarna Duminil-Copin och Tassion, och deras aktuella uppsats A new proof of the sharpness of the phase transition for Bernoulli percolation on Z^d, där de levererar ett kort och koncist bevis av det exponentiella avtagandet. Kort, koncist och enkelt - betydligt enklare än de båda ursprungliga bevisen av Menshikov respektive Aizenman och Barsky, vilka hittills varit standard. Det skall här medges att "enkelt" är ett relativt begrepp, och jag skulle inte rekommendera den läsare som inte redan är bevandrad i sannolikhetsteorin på åtminstone masternivå att ge sig i kast med att läsa uppsatsen, men för oss som är vana vid perkolationsteori är uppsatsen utmärkt lättsmält, och jag vågar mig nästan på att lova att om någon väcker mig mitt i natten om tio eller tjugo år och ber mig återge beviset så kommer jag att klara det.² Jag tackar Hugo Duminil-Copin och Vincent Tassion för att de på detta vis gjort perkolationsteorin lite klarare för mig och för våra kollegor.

Fotnoter

1) Två av de mest spektakulära exemplen på sådana framsteg på denna sida millennieskiftet är Grigori Perelmans bevis av Poincarés förmodan, och Yitang Zhangs epokgörande delresultat på väg mot etablerandet av existensen av oändligt många primtalstvillingar.

2) Nyckeln till att komma ihåg beviset är att återkalla deras definition av storheten φ_p(S) i början av uppsatsen, och att det avgörande är huruvida denna storhet är mindre än 1. När väl det är på plats går räkningarna mer eller mindre av sig själva. (Detta visste givetvis inte Duminil-Copin och Tassion när de första gången försökte sig på sitt argument, men mycket av det som gör en skicklig matematiker är att kunna ana sig till i förväg vad som är en relevant kvantitet att börja räkna på i ett givet sammanhang.)

För geografi- och matematiknördar

Nörd definieras som en person som uppvisar entusiastiskt intresse för något annat än fotboll. Nördar kan kategoriseras med avseende på vad de intresserar sig för. Två vanliga exempel är geografinördar och matematiknördar. Jag själv råkar tillhöra båda kategorierna, och tycker mig i min omgivning har observerat att de samanfaller oftare än vad man kan vänta sig under ett antagande om nollkorrelation. Finns det då ett samband mellan geografi och matematik som kan förklara den positiva korrelation jag tycker mig kunna se? Jag lämnar den frågan öppen, för att här nöja mig med att presentera ett exempel på ett fenomen inom geografi och ett inom matematik, vilka på lämplig abstraktionsnivå kan förstås som relaterade.

1. Geografi

På den för geografinördar tilltalande webbisdan Some interesting Islands and Lakes kan vi ta del av följande upplysningar:

• Världens största ö är Grönland.
• Världens största sjö är Kaspiska havet.
• Världens största sjö på en ö är Nettilling Lake på Baffin Island i Kanada.
• Världens största ö i en sjö är Manitoulin Island i (den kanadensiska delen av) Lake Huron.
• Världens största ö i en sjö på en ö är Pulau Samosir i Danau Toba på Sumatra i Indonesien.
• Världens största sjö på en ö i en sjö är Lake Manitou på ovan nämnda Manitoulin Island i Lake Huron.
• Världens största sjö på en ö i en sjö på en ö är Crater Lake på Vulcano Island i Lake Taal på Luzon i Filippinerna.
• Världens största ö i en sjö på en ö i en sjö är ett namnlöst stycke land i Mindemoya Lake på Manitoulin Island i Lake Huron.
• Världens största ö i en sjö på en ö i en sjö på en ö är Vulcan Point i ovan nämnda Crater Lake på Vulcano Island i Lake Taal på Luzon i Filippinerna.

Fascinerande! Det visar sig emellertid att den avslutande uppgiften om Vulcan Point inte stämmer, och att det finns en namnlös ö - 300 meter lång och 50 meter bred, men klart större än Vulcan Point - i en sjö på en ö i en sjö på Victoria Island i Kanada. Tiden får utvisa om denna rekordbok kräver ytterligare revidering, och om någon orkar gräva ned sig ytterligare något snäpp i hierarkin.

2. Matematik

Låt oss tänka oss ett bikakemönster av sexhörningar, och att detta mönster sträcker sig oändligt långt i alla riktningar i planet. Låt oss vidare tänka oss att varje sexhörning oberoende av varje annan färgas röd med sannolikhet p och vit med den återstående sannolikheten 1-p. Följande figur visar ett ändligt utsnitt av denna så kallade perkolationsprocess,¹ i det symmetriska fallet med p=0,5.

Vi kan tänka oss att de röda sexhörningarna representerar land, medan de vita representerar vatten. Vilken struktur av öar och sjöar kommer att uppstå i en sådan perkolationsprocess? Svaret visar sig dramatiskt bero på p i anslutning till det som kallas det kritiska värdet, som för just detta slags perkolationsprocess är just p=0,5. Följande trikotomi gäller nämligen, med sannolikhet 1.²

• För p<0,5 (exempelvis p=0,49999) uppstår en oändlig vit ocean med ändliga röda öar. På vissa av dessa öar förekommer sjöar, och i vissa av dessa sjöar förekommer öar, etc. Varje sjö och varje ö är emellertid del av en ändlig (och vanligen ganska kort) sådan ö-sjö-hierarki.
• För p>0,5 (exempelvis p=0,50001) uppstår en oändlig röd kontinent med ändliga vita sjöar. I vissa av dessa sjöar förekommer öar, och på vissa av dessa öar förekommer sjöar, etc. Varje sjö och varje ö är del av en ändlig (och vanligen ganska kort) sådan ö-sjö-hierarki.
• För p=0,5 uppstår varken någon oändlig kontinent eller någon oändlig ocean. Istället kommer varje ö att ligga i en sjö som ligger på en ö i en sjö på en ö i en sjö på en ö i en sjö... och så vidare i en oändlig hierarki.

Fotnoter

1) Perkolationsteori råkar också vara det område där jag gjort mina mest uppmärksammade vetenskapliga insatser.

2) Denna trikotomi bevisades slutgiltigt av John Wierman i en viktig uppsats från 1981, baserad på Harry Kestens motsvarande resultat för kantperkolation på kvadratgittret i en ännu viktigare uppsats från 1980. Dessa resultat kan ses som kulmen på den tidens omfattande studium av perkolation på plana gitter, och fokus kom därefter alltmer att förskjutas till högre dimensioner. Perkolation på bikakegittret fick emellertid under 00-talet en ny glansperiod tack vare nya insikter av bland andra Stanislav Smirnov och Oded Schramm.

Höstens doktorsavhandlingar: ett personligt urval

Som universitetslärare och -forskare går jag ofta på disputationer och doktorsmiddagar. Det brukar vara givande och mycket trevliga tillställningar. Ofta rör det sig om doktorander som man känt i något halvt årtionde eller så på ett professionellt plan men inte så privat, och då brukar i synnerhet middagarna, där man som regel får träffa doktorandes föräldrar och övriga familj, skänka en fördjupande bakgrundsteckning åt den bild man har av denne.

Bland de doktorsavhandlingar som lagts fram och försvarats under hösten detta nådens år 2011 vill jag här lyfta fram tre. Mitt urval är, vilket kommer att framgå, starkt subjektivt, något jag dock vill försvara med att någon objektiv metod för urval av de bästa eller viktigaste doktorsavhandlingarna knappast står att finna.

Två av de avhandlingar jag valt ut är författade av doktorander jag handlett: Daniel Ahlberg och Oscar Hammar. Båda fokuserar på den gren av sannolikhetsteorin som kallas perkolation, om än ur ganska olika vinklar. Perkolationsteori kan beskrivas som det matematiska studiet av spridningsfenomen i oordnade material. Huruvida en porös sten släpper igenom vatten, om ett visst virus har kraft att skapa ett epidemiskt utbrott, eller om ett enskilt blixtnedslag i ett träd riskerar leda till en stor skogsbrand, är frågor vilkas svar beror på många olika faktorer, men som tenderar att uppvisa tröskelfenomen. I starkt idealiserad form kan de modelleras som perkolationsprocesser - stora och slumpmässigt uttunnade nätverk där den centrala frågan är om det efter uttunningen återstår någon stor sammanhängande komponent eller inte.

• Daniel Ahlberg försvarade den 30 september sin avhandling Asymptotics and Dynamics in First-passage and Continuum Percolation. Större delen av avhandlingen behandlar asymptotik för så kallad första-passageperkolation, som modellerar inte bara om ett material är genomträngligt utan också hur fort det går. Detta är ett relativt välutvecklat område, men Daniel gör väsentliga nya bidrag, bl.a. genom att på nya sätt knyta an till klassisk gränsvärdesteori för stokastiska summor. Avhandlingen blir extra läsvärd tack vare att Daniel i den ambitiösa kappan ger en av de bästa introduktioner till perkolationsteorin jag sett. Ett mustigt formulerat pressmeddelande fick en Metro-reporter att tro att avhandlingen handlade om konfetti (vilket den inte gör).
  
  
• Oscar Hammar försvarade i fredags, den 16 december, sin avhandling Percolation: Inference and Applications in Hydrology. I avhandlingen utvecklar Oscar en statistisk slutledningsteori för ofullständigt observerade perkolationsprocesser. Detta är i stort sett jungfrulig mark, men kan potentiellt bli av stor vikt för perkolationsteorins tillämpningar, ty då systemens beteende genom bland annat ovan nämnda tröskelfenomen så starkt beror på parametervärdena är det ju angeläget att kunna skatta dessa ur data. Jag hoppas därför att även andra än Oscar kommer att våga sig på detta forskningsområde framöver.
  

I och med att jag som handledare varit delaktig i dessa båda avhandlingsarbeten ligger de mig självklart varmt om hjärtat. På ett mer personligt plan känner jag mig dock minst lika berörd av en tredje aktuell doktorsavhandling, författad av min syster Lisa Hernqvist (född Häggström).¹

• Lisa Hernqvist försvarade den 11 november sin doktorsavhandling Tunnel Grouting: Engineering Methods for Characterization of Fracture Systems in Hard Rock and Implications for Tunnel Inflow. Ämnet är geoteknik, och mer specifikt modellering av sprickor och spricksystem i berggrunden i avsikt att åstadkomma effektiva tätningsmetoder i samband med tunnelborrning. Att här finns en hel del att göra kan var och en inse som påminner sig tunnelbygget i Hallandsåsen, varifrån Lisa hämtat en del av sina data. Området har starka beröringspunkter med perkolationsteorin, och mycket riktigt har Lisa i ett av sina delprojekt samarbetat med Oscar; deras gemensamma artikel med den bastanta titeln Relating the Hydraulic Aperture and the Median Physical Aperture for Rock Fracture with Large Aperture Variance using Percolation Theory finns med i båda avhandlingarna.
  

Fotnot

1) På alla de tre här nämnda personernas doktorsmiddagar höll jag uppriktigt uppskattande tal, men när det gäller min egen sinnesrörelse i sammanhanget står talet till Lisa i särklass bland de tre. Här är talet, i minimalt redigerad form:

Jag är Lisas frisör.

Nu undrar ni säkert varför jag påstår något sådant. Det finns två skäl till det.

För det första vill jag inte avvika från ett vinnande koncept. När jag själv hade min doktorsmiddag för ganska precis 17 år sedan, så höll Lisa ett bejublat och varmt uppskattat tal. De av er som var där minns det säkert ännu idag. En av mina kollegor blev så imponerad av Lisa att han som tack för det fina talet gav henne en diktsamling av Tomas Tranströmer.

Lisa brukade klippa mitt hår på den tiden, och hade den dagen gjort det mellan disputationen (då jag uppträdde ovårdat långhårig i hästsvans) och middagen (då jag var kortklippt och prydlig som nu ungefär). Detta gav henne legitimitet att använda sig av den överraskande och effektfulla inledningsfrasen "Jag är Olles frisör", och jag vill inte vara sämre.

För det andra är det faktiskt sant. En gång när Lisa var fyra och jag var fem (eller möjligen när Lisa var fem och jag var sex) lekte vi att hon hade cancer i håret och att jag var kirurgen som var tvungen att klippa bort en rejäl tofs. Under de månader som följde hade hon en lite märklig frisyr. Men det har som väl är hunnit rätta till sig.


* * *

Jag har två underbara småsystrar, och Lisa är den ena. Vår morfar brukade säga att hon var min "hartnär tvillingsyster", och något låg det väl i detta då det inte skiljer mer än ett år och ett par månader mellan oss. Lotta, däremot, är hela tre år yngre än Lisa – ett sladdbarn!

Vi har varit med om så mycket tillsammans att jag blir lite ställd över överflödet av saker att berätta om. Men med anknytning till att Lisa idag har lagt fram en så fin doktorsavhandling, låt mig säga något om hennes skrivande.

Jag har alltid betraktat Lisa som den mest kreativa i vår syskonskara, oavsett om det gäller bildkonst, musik eller skrivande. Jag minns särskilt en uppsats hon skrev under sitt high school-år i USA där hon i rasande elegant dialogform och med filosofiskt skarpsinne påvisade ohållbarheten i vissa vanligt förekommande trosföreställningar. Men när hon kom hem till Sverige så ville det sig inte riktigt i gymnasiets uppsatsskrivningar. Visserligen skrev hon överlägset bättre och intressantare uppsatser än jag, men medan jag fick 5:or i betyg på mina, så fick hon bara 3:or och 4:or. Jag skämdes faktiskt lite över detta, och Lisa var nog lite frustrerad, för en dag bad hon att få se någon av mina uppsatser för att eventuellt förstå vad hon gjorde för fel. Jag gav henne en eller ett par av mina uppsatser – det var exemplariska men dödstråkiga utredande uppsatser över ämnen som Betyg på gott och ont och Svensk 1900-talslitteratur. Lisa läste igenom dem och lämnade tillbaka dem med ett lite besviket "jaha, är det så man skall skriva", och skrev sedan enbart urtrista uppsatser med betyget 5 resten av gymnasiet.

Kanske är det lite långsökt, men jag tror att den här händelsen pekar på en talang hos Lisa som vi nu åter sett prov på. Jag syftar på hur smidigt hon anpassat sig till den stilistiskt något fyrkantiga genren geoteknisk doktorsavhandling.

Detta om gymnasietiden i mitten på 80-talet. Jag vill inte uppehålla er hela kvällen, så vi får köra lite fast forward!

Vi syskon har haft jättestor glädje av varandra genom åren, och det är underbart att regelbundet få träffa Lisas fantastiska familj. Hennes make naturligtvis... och de fyra välartade barnen som ofta får mig att tänka på hur det var när Lisa, Lotta och jag var små – dels genom deras blotta uppenbarelse, men också genom att de gärna frågar efter hur det var på den tiden. "Berätta om något dumt som mamma gjorde när hon var liten", kan det t.ex. heta. (Men så roligt skall vi inte ha nu.)

Det är också trevligt att ibland ses på tu man hand, syskon emellan. Bland det bästa jag gjort det senaste året var när Lisa och jag åkte upp till Dalarna tillsammans sista helgen i februari för att åka Öppet Spår – den nio mil långa skidturen från Sälen till Mora. Vad som gladde mig extra mycket var att det var jag som dominerade vår interna tävlan. Jag ledde faktiskt över Lisa i fem mil – över halva loppet! Och nu när planen är att vi skall göra samma sak i vinter igen (om det nu blir någon vinter), så har jag höga ambitioner. Jag hoppas göra ännu bättre ifrån mig än sist, och leda över Lisa i sex eller sju mil – kanske ända fram till Hökberg om det vill sig riktigt väl.


* * *

Vi kommer från akademisk familj och det här med disputationer har vi varit med om tidigare. Men när farbror Steffen doktorerade (kan det ha varit 1978?) så hade Lisa inte någon riktig kläm på skillnaden mellan att doktorera och att "ta Nobelpris" som hon kallade det. Hur som helst är det kanske inte lika dramatiskt för oss att göra det (doktorera alltså) som för dem med annan familjebakgrund, men jag måste ändå medge att det känns lite märkvärdigt att ha en lillasyster som är doktor...

Skål för Lisa och för hennes strålande prestation idag!