För geografi- och matematiknördar

Nörd definieras som en person som uppvisar entusiastiskt intresse för något annat än fotboll. Nördar kan kategoriseras med avseende på vad de intresserar sig för. Två vanliga exempel är geografinördar och matematiknördar. Jag själv råkar tillhöra båda kategorierna, och tycker mig i min omgivning har observerat att de samanfaller oftare än vad man kan vänta sig under ett antagande om nollkorrelation. Finns det då ett samband mellan geografi och matematik som kan förklara den positiva korrelation jag tycker mig kunna se? Jag lämnar den frågan öppen, för att här nöja mig med att presentera ett exempel på ett fenomen inom geografi och ett inom matematik, vilka på lämplig abstraktionsnivå kan förstås som relaterade.

1. Geografi

På den för geografinördar tilltalande webbisdan Some interesting Islands and Lakes kan vi ta del av följande upplysningar:

• Världens största ö är Grönland.
• Världens största sjö är Kaspiska havet.
• Världens största sjö på en ö är Nettilling Lake på Baffin Island i Kanada.
• Världens största ö i en sjö är Manitoulin Island i (den kanadensiska delen av) Lake Huron.
• Världens största ö i en sjö på en ö är Pulau Samosir i Danau Toba på Sumatra i Indonesien.
• Världens största sjö på en ö i en sjö är Lake Manitou på ovan nämnda Manitoulin Island i Lake Huron.
• Världens största sjö på en ö i en sjö på en ö är Crater Lake på Vulcano Island i Lake Taal på Luzon i Filippinerna.
• Världens största ö i en sjö på en ö i en sjö är ett namnlöst stycke land i Mindemoya Lake på Manitoulin Island i Lake Huron.
• Världens största ö i en sjö på en ö i en sjö på en ö är Vulcan Point i ovan nämnda Crater Lake på Vulcano Island i Lake Taal på Luzon i Filippinerna.

Fascinerande! Det visar sig emellertid att den avslutande uppgiften om Vulcan Point inte stämmer, och att det finns en namnlös ö - 300 meter lång och 50 meter bred, men klart större än Vulcan Point - i en sjö på en ö i en sjö på Victoria Island i Kanada. Tiden får utvisa om denna rekordbok kräver ytterligare revidering, och om någon orkar gräva ned sig ytterligare något snäpp i hierarkin.

2. Matematik

Låt oss tänka oss ett bikakemönster av sexhörningar, och att detta mönster sträcker sig oändligt långt i alla riktningar i planet. Låt oss vidare tänka oss att varje sexhörning oberoende av varje annan färgas röd med sannolikhet p och vit med den återstående sannolikheten 1-p. Följande figur visar ett ändligt utsnitt av denna så kallade perkolationsprocess,¹ i det symmetriska fallet med p=0,5.

Vi kan tänka oss att de röda sexhörningarna representerar land, medan de vita representerar vatten. Vilken struktur av öar och sjöar kommer att uppstå i en sådan perkolationsprocess? Svaret visar sig dramatiskt bero på p i anslutning till det som kallas det kritiska värdet, som för just detta slags perkolationsprocess är just p=0,5. Följande trikotomi gäller nämligen, med sannolikhet 1.²

• För p<0,5 (exempelvis p=0,49999) uppstår en oändlig vit ocean med ändliga röda öar. På vissa av dessa öar förekommer sjöar, och i vissa av dessa sjöar förekommer öar, etc. Varje sjö och varje ö är emellertid del av en ändlig (och vanligen ganska kort) sådan ö-sjö-hierarki.
• För p>0,5 (exempelvis p=0,50001) uppstår en oändlig röd kontinent med ändliga vita sjöar. I vissa av dessa sjöar förekommer öar, och på vissa av dessa öar förekommer sjöar, etc. Varje sjö och varje ö är del av en ändlig (och vanligen ganska kort) sådan ö-sjö-hierarki.
• För p=0,5 uppstår varken någon oändlig kontinent eller någon oändlig ocean. Istället kommer varje ö att ligga i en sjö som ligger på en ö i en sjö på en ö i en sjö på en ö i en sjö... och så vidare i en oändlig hierarki.

Fotnoter

1) Perkolationsteori råkar också vara det område där jag gjort mina mest uppmärksammade vetenskapliga insatser.

2) Denna trikotomi bevisades slutgiltigt av John Wierman i en viktig uppsats från 1981, baserad på Harry Kestens motsvarande resultat för kantperkolation på kvadratgittret i en ännu viktigare uppsats från 1980. Dessa resultat kan ses som kulmen på den tidens omfattande studium av perkolation på plana gitter, och fokus kom därefter alltmer att förskjutas till högre dimensioner. Perkolation på bikakegittret fick emellertid under 00-talet en ny glansperiod tack vare nya insikter av bland andra Stanislav Smirnov och Oded Schramm.