onsdag 14 november 2012

Att förstå storleksordningar: några enkla knep

Nyhetsmedia är fulla av sifferuppgifter - miljoner hit och miljarder dit. För den som vill hänga med och faktiskt förstå vad som sägs är det viktigt att snabbt kunna bilda sig en ungefärlig uppfattning om storleksordningen på de kvantiteter som åsyftas, och huruvida de är anmärkningsvärt stora eller oväntat små. Tyvärr är denna förmåga inte särskilt utbredd, trots att man kommer långt med blott några enkla knep som torde vara fullt möjliga att lära ut på grundskolenivå.

Att en miljon (1 000 000) är tusen gånger tusen, en miljard (1 000 000 000) är tusen miljoner, och en biljon är tusen miljarder (1 000 000 000 000) vet nog de flesta av den här bloggens läsare, även om en mycket olycklig tvetydighet i engelska språket inbjuder till terminologisk förvirring. Det finns namn även på större tal, men dessa är inte så vanligt förekommande, och man nöjer sig oftast med att utrycka dem i termer av tiopotenser, där t.ex. 1018 står för det tal som utskrivet blir en etta följd av 18 nollor. Att känna till dessa saker räcker dock inte i sig för att snabbt förstå storleksordningen på en given kvantitet, och det är här de knep jag vill bjuda på kommer in.

För att ta ett exempel på måfå, betrakta det förslag som förra månaden kom från socialdemokratiskt håll om att skjuta till tre miljarder extra ur statsbudgeten till skolan. Är det mycket eller lite? Ett lämpligt första överslag för att se vad det innebär för svenska skattebetalare kan vara att dividera med Sveriges invånarantal, vilket ger kostnaden per invånare. Sverige har i runda slängar nio och en halv miljon invånare, vilket är tillräckligt nära tio miljoner för att vi skall kunna använda det (aritmetiskt betydligt lätthanterligare) talet utan att resultatet blir uppåt väggarna. Tre miljarder kronor delat med tio miljoner invånare blir 300 kronor per person - inte jättemycket pengar då det handlar om en årsbudget, men måhända inte helt försumbart. Om vi istället vill få en uppfattning om effekten av satsningen ute i skolorna kan det vara relevant att dividera med antal skolelever istället. Hur många är de? Obligatorisk grundskola plus gymnasieskola är tolv årskullar, och lägger vi till sexårsverksamhet och några års förskola, så är vi snabbt uppe i femton årskullar eller mer. En årskull i Sverige omfattar typiskt drygt 100 000 (det är en siffra som är bra att ha i huvudet, men om man inte har det kan man lätt få fram dem genom att dividera invånarantal med medellivslängd). Så låt oss säga att det finns mellan 1,5 och 2 miljoner skolelever inklusive förskolebarn i Sverige. Om vi dividerar socialdemokraternas föreslagna extrasatsning med detta antal hamnar vi alltså på mellan 1500 (3 miljarder delat med 2 miljoner) och 2000 (3 miljarder delat med 1,5 miljoner) kronor per elev. Det är först när man är beväpnad med en sådan siffra som man är rustad att fundera vidare över i vad mån den föreslagna satsningen kan göra en viktig skillnad i våra skolor.

Detta slags överslagsräkningar gör jag (och har gjort så länge jag kan minnas) mer eller mindre automatiskt så snart liknande sifferuppgifter dyker upp i någon nyhet som intresserar mig det allra minsta. Att göra det är viktigt, ty gör man det inte är man helt i händerna på (den ofta inkompetenta och/eller partiska) nyhetsförmedlaren som efter behag kan vinkla nyheten genom att framställa siffran som stor eller liten. Överslagsräkningarna kan också tjäna som snabbkoll om den uppgivna siffran överhuvudtaget är rimlig (vilket den ofta inte är).

En person som uppenbarligen inte har denna goda vana är journalisten Lotta Gröning. I en krönika i Norrbottens-Kuriren häromdgen skriver hon om den norska statens oljefond och dess stora betydelse för Norges ekonomi och samhälle. I Grönings artikel sägs den uppgå till 3,7 biljoner norska kronor, vilket synes mig helt rimligt. På Facebook1 förklarar emellertid Gröning att det skall vara 3,7 miljarder, och uttrycker irritation över att någon redigerare på tidningen tydligen har varit framme och ändrat i hennes text.

Vad skulle det då innebära om Norges oljefond uppgick till 3,7 miljarder norska kronor? Well, om man råkar känna till t.ex. att våra svenska AP-fonder förvaltar i runda slängar 1000 miljarder svenska kronor, så inser man att något måste vara galet med de 3,7 norska miljarderna. Om vi inte känner till det, så kan vi istället göra samma slags divisionsräkning som i det förra exemplet. Om vi dividerar 3,7 miljarder kronor med 3,7 miljoner norrmän, så blir det 1000 kronor per skalle. Nu är visserligen Norges folkmängd snarare 5 miljoner än 3,7 miljoner, men å andra sidan står den norska kronan något högre i kurs än den svenska. Dessa två korrigeringar går åt motsatta håll, och vi gör knappast något större fel om vi antar att Grönings miljarder svarar mot 1000 svenska kronor per norrman, vilket är ett fullkomligt absurt litet per capita-belopp givet den stora betydelse som oljefonden tillmäts både av Gröning och av ekonomisk-politiska experter. Den korrigerade siffran 3,7 biljoner norska kronor är 1000 gånger högre, och svarar alltså på ett ungefär mot 1 000 000 svenska kronor per norrman, vilket låter väldigt mycket mera rimligt.2

En annan typ av vanligt förekommande sifferdata för vilken den här sortens överslagskalkyler är snabba och enkla, rör hälsorisker och dödstal. För att förstå en upgift som t.ex. den om att "arbetsmiljön ligger bakom minst 1 000 dödsfall [i Sverige] varje år" behöver vi relatera den siffran till det totala antalet dödsfall årligen, vilket i sin tur kan uppskattas på samma vis som årskullsresonemaget ovan. Jag lämnar som en övningsuppgift åt läsaren att på detta vis uppskatta risken att en på måfå vald svensk dör av dålig arbetsmiljö.

Jag vill till slut passa på att bjuda på ett knep rörande något extra svårt, nämligen areor. Sträckor har jag, liksom de flesta, en omedelbar intuitiv känsla för, men inte areor. Om jag hör talas om sträckan 150 km kan jag på några sekunder säga att det är på ett ungefär avståndet mellan Göteborg och Jönköping, medan jag inför arean 150 km2 inte har samma omedelbara intuition. Knepet jag tar till består i att uppskatta kvadratroten. 12 gånger 12 är 144, så roten ur 150 måste vara lite drygt 12, varför 150 km2 motsvarar en kvadrat med drygt 12 kilometers sida, vilket låter som Tjörn, på ett ungefär. Ofta uppges areor i hektar, vilket man givetvis behöver känna till är 100 gånger 100 meter för att kunna förstå sifferuppgiften, men gör man det fungerar kvadratrotsknepet utmärkt. Inför uppgiften om en 1500 hektar stor skogsbrand drar jag roten ur 1500, får det till knappt 40 (ty 40 gånger 40 är 1600), och konkluderar att 1500 hektar motsvarar en kvadrat med sidlängd strax under 40 gånger 100 meter, dvs knappt 4 km.

Allt detta skulle folk i allmänhet klara av, om blott de hade fått ta del av en skolmatematik som var mer i stil med den som Timothy Gowers förespråkar och som jag skrev om för en tid sedan här på bloggen.

Fotnoter

1) Lotta Gröning har i skrivande stund 4461 Facebook-vänner, och använder sin Facebook-sida till att driva ett slags omodererat Ring P1. Hennes sammanblandning av miljard och biljon påpekades av en kommentator. Detta resulterade inte i något medgivande eller annan kommentar från Gröning, men väl i ett absurt gräl mellan två av kommentatorerna - ett gräl som inledningsvis kom att handla om betydelsen av ordet biljon, men som snart övergick till att fokusera på ett ifrågasättande av den enes könstillhörighet och på hennes eventuella främlingsfientlighet.

2) De 3,7 biljonerna kan också bekräftas genom att kolla i facit.

6 kommentarer:

  1. Areor är luriga och volymer är ännu lurigare. Hemma har vi ett akvarium på 110 liter och jag kan inte befria mig från känslan att det är "typ 1 kubikmeter".

    Allt guld i världen lär rymmas i en kub med sidan 18m. Låter lite, men det blir trots allt ca 10g per levande människa.

    Men du: "siffran 100 000"? Låt mig påpeka att 100 000 är ett tal som vanligtvis representeras av sex siffor.

    /Der Besserwisser der am besten weiss

    SvaraRadera
  2. Arne Söderqvist14 november 2012 22:26

    När journalister ska "förklara" hur stort ett stort tal är blir exemplen de anför ofta både krystade och rentav alldeles felaktiga. Beträffande statsskulden skulle man kunna läsa att om man växlade så mycket pengar till enkronor och travade dem på varandra så skulle stapeln nå ända till månen. (Just så har ingen skrivit, vad jag vet, men metaforer av detta slag är alltför vanligt förekommande.)

    Jag menar för det första att ett sådant exempel inte är särskilt belysande. För det andra brukar jag ibland roa mig med att själv undersöka sådana påståenden. Ganska ofta finner jag då att journalisterna har gjort felbedömningar på flera tiopotenser.

    SvaraRadera
  3. Oj vad bra skrivet! Jag själv insåg först hur oerhört viktigt detta är när jag läste kapitel 7 i Jon Bentleys "Programming Pearls:

    http://books.google.se/books?id=kse_7qbWbjsC&pg=PA67&hl=sv&source=gbs_toc_r&cad=4#v=onepage&q&f=false

    och om man slår "back of the envelope calculation" på Google får man ännu mer inspiration. Det här borde kunna ges som kurs inom journalistutbilding och lärarutbldning med samma krav som på sjuksköterskor som måste ha 100 procent rätt på att kunna räkna ut medicindos.

    SvaraRadera
  4. En illustration kan hittas i den (geniale) Jan Berglins teckning (främst nummer 2)

    http://www.passionsfrukt.nu/tankar/images/matematikenskris.jpg

    SvaraRadera