torsdagen den 29:e mars 2012

Rakt genom jordklotet

Idag skall jag tala om vad som händer den som borrar ett hål rakt ned genom jordens medelpunkt och ut på andra sidan, för att sedan kasta sig ned i hålet. Eftersom borrandet av ett sådant hål är ett orealistiskt projekt redan från början gör det inte så mycket om jag fyller på med lite extra förenklande antaganden: att vår planet är perfekt klotformad utan några berg eller andra knöligheter, att den är helt och hållet homogen, och att den saknar atmosfär.

Vad händer då du hoppar ned i hålet? Du kommer att falla nedåt, fortare och fortare, ned mot jordens medelpunkt. Där kommer du att fortsätta av bara farten, men i stället för fortsatt ökande fart kommer du att börja sakta in. Din fart räcker precis för att du skall orka upp till ytan på andra sidan, och väl framme börjar du genast falla tillbaka mot mitten och sedan upp mot den ursprungliga startpunkten. Och så vidare, i en evig pendelrörelse, fram och tillbaka (åtminstone så länge ingen rycker tag i skjortkragen på dig vid något av dina besök vid jordytan).

Hur lång tid tar då din färd från ena sidan av jorden till den andra? 42 minuter, visar det sig. Denna siffra kan man eventuellt förvånas över, men det riktigt fascinerande i sammanhanget är - som fysikern Sasha Vongehr påpekar på sin blogg alpha meme - att denna tidsåtgång är exakt densamma som åtgår för en satellit i cirkulär bana i höjd med jordytan att färdas från en punkt på jorden till den rakt motsatta. Om du skickar iväg ett föremål (t.ex. en pistolkula) horisontellt, med precis den hastighet som behövs för att inte tappa höjd utan stanna i satellitbana, samtidigt som du hoppar ned i hålet, så kommer du och föremålet fram till andra sidan jorden exakt samtidigt; Vongehr kallar detta för "the perfect physics instructor suicide".

Varför samanfaller tidsåtgången för dessa två helt olika sätt att färdas härifrån till vår antipod? Jag lämnar detta som en (i mitt tycke alldeles ljuvlig) övningsuppgift åt läsekretsen.1

Fotnot

1) För att knäcka denna gåta behöver man behärska Newtons gravitationslag, och kanske helst också känna till det som kallas shell theorem, men när man väl förstått hur det hänger ihop klarar man sig i princip helt utan matematiska beräkningar.

3 kommentarer:

  1. Man kan ju också tänka sig att borra hål mellan två punkter som inte är antipoder, vilket väl ger ett liknande fenomen. Förmodligen orealistiskt det också, men en inte riktigt lika uppenbart omöjlig idé för att anlägga snabbtunnelbanor över långa avstånd.

    SvaraRadera
  2. Ja, det var det jag tyckte mig minnas från någon matematik- eller fysikundervisning någonstans. Förutom att 42 förstås är svaret på den yttersta frågan om livet, universum och allting är det för övrigt också svaret på frågan om hur många gånger man måste vika ett papper för att nå månen. Är det ett sammanträffande, tro?

    SvaraRadera