fredag 16 augusti 2013

Bilen och getterna i McEwans senaste

Du deltar i en TV-lek och står inför tre dörrar. Bakom en av dörrarna (du vet dock inte vilken) står något åtråvärt - en bil - medan det bakom de två andra döljer sig ett par riktiga nitlotter - två getter. Leken går till på följande vis. Först pekar du ut en av dörrarna, varefter programledaren öppnar en av de båda andra dörrarna, utvald på så vis att dörren han väljer att öppna alltid leder till en av getterna. Till slut har du möjlighet att antingen insistera på ditt ursprungliga val eller att byta till den återstående oöppnade dörren. Hur bör du agera?

Detta är det problem som på svenska kommit att kallas bilen och getterna. På engelska kallas det Monty Hall, efter programledaren vars program tjänat som inspiration för problemet. Jag tror inte det finns något annat problem som lika ofta kommer på tal när en icke-matematiker får höra att man sysslar med sannolikhetsteori. Att förklara mitt ämne för lekmän är en uppgift jag tycker är viktig och (oftast) tar på stort allvar, så detta intresse för bilen och getterna-problemet kan synas komma ytterst lägligt, som ett tillfälle för mig att sprida mina kunskaper till någon som faktiskt vill höra.

Ironiskt nog är jag dessvärre hjärtligt trött på bilen och getterna, och talar ogärna om saken. Jag tror att orsaken står att finna i hur enkelt jag finner problemet, samtidigt som många man möter tycks ha en nästan oövervinnerlig resistens mot att förstå det. När jag någon gång 1991 eller 1992 första gången hörde talas om problemet, av gamle statistikprofessorn Sture Holm, tog det mig (högt räknat) 30 sekunder att genomskåda det och se hur TV-leksdeltagaren borde agera. Under de påföljande åren ägnade jag med jämna mellanrum ansenlig tid och energi åt att förklara saken i samtal som ofta utmynnade i att jag fick svaret "jaha, så kan man kanske tänka, men var och en kan ju ändå förstå att det måste vara 50-50".

Så till den grad trött på bilen och getterna var jag sommaren 2003, då jag satte mig ned för att att skriva på min bok Slumpens skördar (specifikt det kapitel som skulle behandla några enkla men paradoxala sannolikhetsberäkningar), att det första jag bestämde mig för var detta: att inte ta med det i mitt tycke fruktansvärt uttjatade problemet. Av skäl jag inte längre kan dra mig till minnes blev det till slut ändå så att jag tog med det, och för att för säkerhets skull göra slut på allt eventuellt utymme för dubier kompletterade jag de vanliga probabilistiska analyserna med en noggrann spelteoretisk genomlysning av problemet. Senare kom min bok i tysk översättning med den snärtiga titeln Streifzüge durch die Wahrscheinlichkeitstheorie, och döm om min förvåning då sannolikhetsteoretikern Sasha Gnedin ytterligare några år senare i en artikel rubricerad The Mondee Gills Game fann min spelteoretiska analys värd att spinna vidare på, och rentav upphöjde mig till något slags auktoritet på området.

Och bilen och getterna-problemets vidare färd genom litteraturen fortsätter att överraska, inte minst då det dyker upp i Ian McEwans senaste roman Sweet Tooth. Även i sin föregående bok Solar (som jag recenserade på Uppsalainitiativet) visade McEwan prov på såväl förkärlek för som kompetens i att i romanform ta upp teman hämtade från den matematisk-naturvetenskapliga ämnessfären. I Sweet Tooth lurades jag ett kort tag att tro att McEwan hade missförstått bilen och getterna-problemet, men det visade sig snabbt att det blott var en av hans rollfigurer som fått saken om bakfoten, och som sedan snabbt fick sitt missförstånd korrigerat.1

Solar är bra och underhållande läsing, men Sweet Toth är enligt min mening ännu bättre. Björn Bengtsson rapporterar på sin blogg hur ett par svenska dagstidningar felaktigt karaktäriserat Sweet Toth som en spion- eller agentroman. En agentroman är den på sin höjd i tredje hand, efter i andra hand en kärleksroman och i första hand ett stycke snillrikt komponerad postmodern metalittreatur. I övrigt hänvisar jag gärna till Björns insiktsfulla kommentarer om boken.

Fotnot

1) Den som absolut vill hitta något att anmärka emot i McEwans behandling av bilen och getterna kan i och för sig drämma till med det osannolika i att en matematikstudent i Cambridge redan någon gång i skiftet mellan 60- och 70-tal skulle träffa på problemet i dess nuvarande form.

11 kommentarer:

  1. Arne Söderqvist16 augusti 2013 09:00

    Man tycks ta för givet att en person föredrar att få en bil framför en get. Det finns säker många kulturer där preferensen är den motsatta.

    SvaraRadera
  2. När jag jobbade på Chalmers och tillsammans med Samuel ofta tog emot skolklasser som kom på besök så var detta problem ett av dem som fanns bland de "matematiska leksaker" som vi hade tagit fram. Barnen fick först testa det hela rent empiriskt, dvs en fick vara lekledare (Monty) och andra fick spela och så fick de föra bok på om de vann bilen (godis) eller ej när de använda byt-strategin eller håll fast-strategin. Sedan pratade vi om det teoretiskt också. Jag tror att vi oftast lyckades övertyga barnen. Kanske är det enklare med barn än vuxna? En intressant detalj är dock att de empiriska resultaten alltid innehåll en högre andel vinst (för båda strategierna) än vad teorin säger. Min tolkning är att detta är en psykologisk effekt, dvs att spelledaren inte klarade av att vara "helt slumpmässig" när han placerade ut "bilen" respektive "getterna"och att de som spelade "läste" spelledaren. Det hade varit kul om vi hade sparat alla dessa data, faktiskt.

    För övrigt så kallade vi alltid detta för "Den betingade geten".

    SvaraRadera
  3. Första gången problemt kom till min kännedom måste ha varit ca 1991-1992 av äldre kollegor (i mitt fall faktiskt konsulter till mig, även.om jag gärna kallar dem kollegor) vid dåvarande Ericsson Radio System.

    Jag behövde nog betydligt längre tid än 30 sek för att förstå lösningen (problemet tror jag dock att jag förstod snabbt).

    Jag vet inte hur pass nytt problemet var då (91-92), men jag gkorde i stort sett samma reflektion som Olle beskriver i fotnot 1.

    En intressant fråga, och den finns det säkert inget svar på, är hur många professorer i statistik som skulle ha rättat en tentamensuppgift med detta problem korrekt för mer än 20 år sedan...?

    Den förste som (i alla fall som jag minns) i något sammahang förklarade detta, var den på denna blogg, tidigare omtalade Allan Gut. Enligt vad jag förstod gick förklaringen ut på att när en nit-lotts dörr öppnades så fick man information som man inte hade förut, och då lönade det sig att göra ett dörrbyte.
    Kjell Eriksson

    SvaraRadera
    Svar
    1. Lite oklart vad du menar med "i stort sett samma reflektion", Kjell. Den kan i alla fall inte ha gällt handlingen i McEwans bok, som inte utkom förrän ett par decennier senare.

      Prova länken i Fotnot 1 om du vill veta mer om problemets historia.

      Radera
  4. Det skall jag göra, dvs prova länken. Det jag menade var mer att jag uppfattade problemet som relativt nytt då (91-92). Och den tanke som slog mig hastigt då var: vem kom på det här problemet då? Det verkade enkelt till sin utformning, men lösningen verkade vara en sensation. Sedan skall jag väl erkänna att jag faktiskt inte vet när lösningen blev känd, men det kanske den refereade länken besvarar.
    Kjell Eriksson

    SvaraRadera
  5. Johan Wästlund16 augusti 2013 11:54

    Man kan bli trött på dessa dumma getter, men samtidigt är det intressant att försöka förstå varför den bästa strategin anses så kontraintuitiv.

    Jag spekulerar i att orsaken till att så många av oss tänker fel ironiskt nog är precis de tumregler och instinkter som normalt leder oss rätt i liknande situationer.

    Det skulle innebära att bilen och getterna är för den mänskliga hjärnan vad schackställningen i din bloggpost "Om människors och datorers sätt att spela schack" är för dagens schackprogram. Specialdesignat för att det vanligtvis effektiva sättet att tänka ska leda fel.

    Hur menar jag då? Jo, säg till exempel att en försäljare ringer och berättar att en produkt är 30% bättre än konkurrenterna i ett visst avseende. Drar vi då slutsatsen att produkten troligtvis är bättre överlag?

    Folk med utbildning i sannolikheter och spelteori kan tänka att det här är "biased information". Försäljaren har valt en aspekt som framställer produkten i bra dager. Då ökar den betingade sannolikheten att den är sämre i andra avseenden. Vi kanske till och med ser analogin till bilen och getterna: Man presenterar information som har valts. Det händer aldrig att försäljaren tar upp nackdelar med produkten, eller att programledaren öppnar en dörr med en bil bakom.

    Men människor som inte förstår (vägrar att acceptera?) lösningen på Monty Hall-problemet låter sig ändå inte ständigt luras i vardagliga situationer!

    Hur motiverar man då sitt nej till försäljaren? De flesta av oss kan nog få en känsla av att bli lurade om vi tackar ja, och om vi inte kan avfärda försäljningsargumenten logiskt, hittar vi på egna motiveringar. Kanske går det till så att vår hjärna befäster vissa regler som:

    1. Tacka nej när främlingar kommer med erbjudanden.
    2. Håll fast vid de val du själv har gjort.
    3. Lita inte på statistik.

    Nu ställs vi inför Monty Hall-problemet, som presenteras som att vi får "välja" en dörr, och att programledaren senare "erbjuder" oss att "byta". Enligt (1) och (2) är det solklart vad vi ska göra, och enligt (3) hjälper det inte vad nån statistikprofessor säger...

    Samma spel kunde presenteras som att vi får peka på två dörrar och tvinga programledaren att öppna en av dem. Därefter gör vi vårt val. Inte riktigt samma sak?

    SvaraRadera
  6. Undrar om du har sett Jason Rosenhouses (från Evolutionblog) bok om Monty Hall? Har inte läst den, men den har fått bra recensioner. Är dock mer sugen på hans bok om sudoku...

    SvaraRadera
    Svar
    1. Jag har inte sett den. Tydligen skriver någon recensent i Science att "if one wants to see 'The Full Monty', this is definitely the book to buy", vilket jag besvarar med "nej tack". Dock kan det ju gott hända att någon läsare är mer sugen, och då vill jag inte avråda, särskilt inte som min omdömesgille och högt uppskattade matematikerkollega David Aldous ger boken ett högt betyg.

      Radera
  7. Cecilia Balden-Lembke17 augusti 2013 17:48

    Ett sätt att möjligen göra lösningen uppenbar för eleverna, är att istället ha 100 lådor, bland vilka endast två stycken innehåller vinst. 98 lådor är nitar.

    Den tävlande väljer exempelvis låda 1 först.
    Lekledaren berättar sedan att lådorna 3 - 100 är nit allihop.

    Vill den tävlande byta till låda 2. eller ej?

    SvaraRadera
  8. Cecilia Balden-Lembke17 augusti 2013 17:49

    Ursäkta, skrev fel nyss i mitt exempel: Endast 1 av 100 är vinst, inte 2 av 100. Sorry...

    SvaraRadera
  9. Förvånansvärt många som förklarar problemet glömmer bort att poängtera det faktum att programledaren vet var bilen finns.

    Om programledaren inte vet var bilen finns, ja då är det förstås verkligen 50-50 och man har ingen som helst anledning att byta dörr.

    SvaraRadera