Låt mig erbjuda en enkel övningsuppgift i geometri. I en kvadratisk låda med sidlängd 4 packar vi fyra cirklar med radie 1 på det enda sätt som är möjligt, dvs som de fyra gula bollarna i figuren nedan. Därefter placerar vi en femte cirkel med centrum i lådans mittpunkt, och med radie vald på så vis att den nätt och jämnt tangerar de fyra gula. Detta är den röda bollen i figuren. (Det hela påminner vagt om hur man förpackar "lillen" i boule.) Får den röda bollen plats inom lådans begränsningar?
Här kanske läsaren (med viss rätt) anser att uppgiften är löjligt enkel. Självklart får den röda bollen plats - det syns ju på bilden!
Men kan vi verkligen vara helt säkra på den saken? Tänk om bilden är vilseledande. Låt oss vara en smula pedantiska och göra en beräkning. Den röda bollens centrum befinner sig på avstånd 2 från var och en av lådans väggar, och ryms alltså inom dessa om dess radie är högst 2. Vidare kan avståndet mellan den röda bollens centrum och en av de gula bollarnas (låt oss säga den övre vänstra) beräknas med hjälp av Pythagoras sats till √12+12=√2. Detta avstånd är lika med summan av den gula bollens och den röda bollens respektive radier, och eftersom den gula bollen har radie 1 har den röda bollen radie √2-1≈0,414. Detta är mindre än 2, och vi har alltså verifierat att den röda bollen får plats i lådan.
Vi kan tänka oss motsvarande problem i tre dimensioner. Åtta gula bollar med radie 1 placeras inuti en kub av sidlängd 4, med en boll vardera så nära vart och ett av de åtta hörnen som möjligt. En röd boll placeras med centrum i lådans mittpunkt, med radie vald så att den tangerar de åtta gula bollarna. Får den röda bollen plats i lådan? Åter känns svaret självklart, men åter kan vi göra en kontrollräkning. Den röda bollens radie blir √12+12+12-1=√3-1≈0,732, vilket är mindre än 2, och den får alltså plats i lådan.
Det här går ju riktigt bra, så låt oss gå vidare till högre dimensioner! I en d-dimensionell hyperkub med sidlängd 4 placeras 2d gula bollar av radie 1 på motsvarande sätt som tidigare, och i mitten en röd boll som tangerar de gula. Var och en känner väl i och för sig på sig att den lilla röda bollen får plats i lådan oavsett dimension, men det kan ju inte skada att kontrollräkna. Den allmänna formeln för den röda bollens radie i d dimensioner är √d-1, och åter är det bara att kontrollera att det uttrycket håller sig mindre än 2.
Den första överraskningen inträffar redan i det fyrdimensionella fallet d=4. Där blir den röda bollens radie √d-1=√4-1=1, och den röda bollen är alltså lika stor som de gula! I fem eller fler dimensioner blir den rentav större än de gula. Nästa överraskning sker i det niodimensionella fallet d=9, där den röda bollen får radie √d-1=√9-1=2, och därmed tangerar lådans väggar. För d=10 blir radien √10-1≈2,162, och den röda bollen spränger alltså lådans gränser! Om vi sedan successivt ökar dimensionen d ytterligare fortsätter radien att växa, utan någon övre gräns.
Sens moral: Ett visst mått av försiktighet i att lita på intuitionen i frågor om högdimensionell geomteri kan vara klokt att hålla sig med.
En kanske lite naiv fråga, Olle. Vad betyder uttryck som "större", "mindre", "storlek", etc. när det är fråga om påståenden gällande fler än 3 dimensioner?
SvaraRaderaEn berättigad fråga! Betydelsen av a<b för två positiva tal a och b känner vi till. Det är därför vettigt, oavsett dimension, att säga att en boll B med radie b har större radie än en boll A med radie a, förutsatt att a<b. Vi kan till och med kosta på oss att säga att bollen B är större än bollen A, eftersom det går att placera bollarna så att B innehåller A (t.ex. genom att låta deras centra sammanfalla).
RaderaJa, jag förstår hur du tänker. Men är det så vettigt att tala om detta som storlek? Som ditt exempel visar verkar ju vårt vardagsbegrepp om storlek leda oss fel i vårt tänkande, när det tillämpas utanför sitt normala tillämpningsområde (dvs. 3 rumsdimensioner). T.ex. verkar din begreppsbildning innebära att två personer, a och b, där a:s kroppsvolym är dubbelt så står som b:s, men där b existerar dubbelt så lång tid som a, kan vara "lika stora". Men det kan de ju inte alls vara enligt vardagsbegreppet.
RaderaFör att överhuvudtaget kunna tänka på abstrakta ting utanför våra vardagliga domäner behöver vi exportera välbekanta begrepp till dessa nya områden. Risken att vår intuition då leder oss fel är givetvis stor, men alternativet - att aldrig tänka på annat än vardagligheter - är oacceptabelt.
RaderaInte så jag menade heller. Men kanske ska man vara tydlig med att det är ANDRA begrepp det handlar om (t.ex. ett begrepp storlek med 5 dimensioner snarare än med 3). Extra tydlighet om detta uppnås med ny terminologi. Då tror jag effekten blir att intuitionerna i hög grad försvinner och därmed misstagen. Men då förlorar vi förstås också det pedagogiska verktyget att tänka analogt till det vardagliga....
RaderaI princip håller jag med om att det är klokt att vara tydlig med att hålla isär olika begrepp.
RaderaVad gäller det specifika ordet "storlek" har jag dock svårt att se det problematiska, då vi ju redan i vardagsspråket är vana vid att detta är ett flexibelt och abstrakt begrepp. Vi talar utan att tveka om storlek hos såväl en- som två- och tredimensionella utsträckningar (en stor tidsrymd; en matta som (oavsett den ointressanta tjockleken) är större än en annan; en tjugolitersdunk som rymmer större volym än ett decelitermått). Vidare säger vi att Sverige har större folkmängd än Norge, att 1000 kr är ett större belopp än 5 kr, att Nordhemsgatan har större lutning än Övre Husargatan, och till och med att David Hume var en större filosof än Bolof Stridbeck. Denna vittomspännande mängd användningar av ordet är vi så bekanta med att risken nog är minimal att någon läsare skall vantolka ett yttrande om att en femdimensionell boll är större än en annan såsom handlandes om t.ex. tredimensionella volymer.
Intressant. Säg att man, inspirerad av fallet i nio dimensioner, börjar med att istället stipulera att den röda bollen ska nå väggarna, och att de gulas storlek anpassas för att passa in i hörnen. Blir dessa två konstruktioner identiska i fallet d=9? (Ja, jag hade naturligtvis kunnat försöka räkna ut det själv, men det kommer jag antagligen inte att göra.)
SvaraRaderaJa.
RaderaEn delförklaring till varför det känns konstigt kanske är att packningsproceduren som är uppenbart bäst i två och tre dimensioner blir mycket dålig i högre dimensioner. I fyra dimensioner packar du ju in 16 gula bollar där det uppenbarligen ryms (minst) 17 (om jag nu inte tänker helt galet vad det numerära anbelanger ... jag är föräldraledig och har gröt- och blöjhjärna). Det finns "helt enkelt" mycket mer plats i flera dimensioner. Eller?
SvaraRaderaVar i Provence under andra halvan av april och fick självklart möjlighet att utöva det ädla spelet Petanque, eller Boule som vi säger här i Sverige. Fick tillfälle att besöka en liten sportaffär i Avignon för att inhandla bouleklot. Följande data meddelas för kännedom : Ett bouleklot har en diameter från (min)70,5 mm till (max)80 mm.
SvaraRaderaEn "lille" har en diameter om 30 mm +/- 1mm. Hoppas att dessa data kan sprida ljus över problemet ovan.
Kurt Persson