lördag 21 juli 2012

Istället för vardagsmatematik?

  • Kalle köper en glass åt sig själv för 9 kr, och en åt sin syster Lena för 7:50. Om han betalar de båda glassarna med en tjugokronorssedel, hur mycket bör han då få i växel?
  • Anna och Pelle skalar potatis till en släktmiddag. För Anna tar det 1 minut och 30 sekunder att skala en potatis. För Pelle tar det 2 minuter. Hur lång tid tar det för dem att tillsammans bli klara med 70 potatisar?
Nästan alla seriösa bedömare håller med om att matematik är ett viktigt skolämne.1 De som funderat något lite över saken håller också med om att det inte går an att eleverna enbart tvingas att ägna sig åt ett evinnerligt nötade, år ut och år in, av addition med minnessiffra, 7⋅8=56, andra kvadreringsregeln och formeln för derivatan av en kvot. Ett visst mått av sådan träning behövs förvisso, men matematiken behöver också, för att bli meningsfull och användbar, kopplas till övriga världen. Den lösning som oftast lyfts fram heter vardagsmatematik, dvs det slags själlösa och outsägligt ointressanta räkneuppgifter som de två härovan.2

Oj vad jag önskar att åtminstone delar av skolböckernas vardagsmatematik finge ersättas av uppgifter av följande slag!
  • Hur många människor skulle få plats på Gotland?
  • En jurist vid namn Sally Clark fälldes 1999 för mord på sina två pojkar som hade dött 1996 och 1998, båda blott några veckor gamla. Läkaren Roy Meadow argumenterade för åklagarsidan på följande vis. Risken för plötslig spädbarnsdöd är cirka 1 på 8500. Sannolikheten för två dödsfall av detta slag är ungefär lika med kvadraten på detta tal, dvs cirka 1 på 73 miljoner. Vi kan därför konstatera att dödsfallen med överväldigande sannolikhet inte var naturliga. Är detta korrekt resonerat?3
  • Du anländer med flyg till en stor flygplats där du skall byta till ett annat plan, i andra änden av flygplatsen. Dit behöver du ta dig till fots, men där finns också rullande gångbanor du kan ta dig fram på vissa sträckor. Tyvärr behöver du också stanna och knyta ett skosnöre. Om du vill ta dig fram till det anslutande flyget så snabbt som möjligt, var bör du då helst knyta skosnöret - på fast mark eller på en rullande gångbana?4
  • Du och en god vän har olika uppfattning om hur ni vill tillbringa eftermiddagen. Ni bestämmer er av rättviseskäl för att singla slant om saken, men upptäcker att den enda slant ni har att tillgå är skev. Finns det något sätt för er att ändå få till en rättvis beslutsprocedur med hjälp av slanten?5
Samtliga dessa fyra uppgifter (eller smärre variationer av dem) finns med, tillsammans med 58(!) andra, i den mest inspirerande text om matematikundervisning som jag läst på jag vet inte hur många år. Det rör sig om en bloggpost av den världsledande engelske matematikern Timothy Gowers,6 som också följer upp med en andra bloggpost där han beskriver hur han i praktiken lyckades engagera skolelever i detta slags uppgifter.

Fotnoter

1) De som i offentlig debatt avviker från denna uppfattning är som regel okunniga provokatörer, som Expressens Marcus Birro och DN:s Jonas Thente. Det stora undantaget (och mysteriet) i sammanhanget är Sverker Lundin, som är mycket kunnig om skolmatematiken (och framför allt dess svenska historia), men som tycks ha vikt sin karriär åt dess bekämpande.

2) Jag står fast vid följande, som jag skrev i ett meningsutbyte med Göran Greider i Dala-Demokraten för snart ett decennium sedan:
    Ett idag ofta framfört förslag till lösning på detta problem är den så kallade vardagsmatematiken: att matematiken skulle förankras hårdare i elevens vardagliga erfarenheter. Och självklart finns det ett värde i att ta hjälp av exempel som växelpengar och rättvis uppdelning av godispåsar, då talbegrepp och aritmetik skall förklaras. Det finns emellertid en stor fara i att alltför enkelspårigt inrikta matematikundervisningen åt detta håll, något som min Chalmerskollega Ulf Persson har uttryckt på följande vis: "Syftet med skolundervisningen är att [...] vidga och berika elevens erfarenhetsvärld. Den vardagsvärld eleven känner till är ofta karg och begränsad, och den kommer att förbli karg och begränsad om all kunskap måste rotas i dess tunna mylla."

3) Läs gärna om denna brittiska rättsskandal på Wikipedia. Minnesgoda läsare kan påminna sig att jag tidigare har flaggat här på bloggen för det delvis liknande nederländska fallet Lucia de Berk.

4) Förutom Timothy Gowers har även Terence Tao har diskuterat detta problem.

5) Den som tycker sig ha kommit på en optimal metod är välkommen att jämföra med vad min gamle vän och matematikerkollega Yuval Peres kom fram till för över tjugo år sedan.

6) Det är samma blogg som jag tidigare haft anledning att hänvisa till i samband med Elsevier-bojkotten. Timothy Gowers (Sir Timothy Gowers) blev för övrigt adlad i förra månaden, för sina "services to mathematics" - en enligt min mening mycket välförtjänt utmärkelse!

20 kommentarer:

  1. Svaret på fråga 1 är att han ska få 3 kr i växel. Det följer av SFS 1970:1029 (Lag om avrundning av vissa öresbelopp.)

    SvaraRadera
  2. Arne Söderqvist21 juli 2012 22:18

    Skolböckerna är fyllda av fullkomligt trivial ”vardagsmatematik”. Det är ingen mening med att formalisera rutinsysslor med hjälp av matematik. Vardaglig problematik kunde dock få belysa en generell matematisk metod genom att visa sig vara ett specialfall av denna. Dessvärre tar man nästan aldrig steget att generalisera och därmed har man ju indirekt antytt att matematik egentligen är något meningslöst.

    Utvecklingen går tyvärr snarast i en helt annan riktning än den Olle önskar. Något som blivit populärt på senare tid är sk. ”rika problem”. Ett exempel på ett sådant är
    ”Stina får hundra kronor i födelsedagspresent av sin farmor. Vad tycker du att Stina ska köpa för pengarna?”
    ”Fördelen” med frågeställningar av denna typ sägs vara att inget svar på frågan kan anses vara felaktigt.

    Något om glädjen av viss matematisk bildning och några av mina egna idéer om vad skolmatematiken kunde innehålla har jag redovisat i kommentarerna #2, #5, #13 och #16 till artikeln http://www.newsmill.se/artikel/2012/07/04/besserwissrar-om-matematikundervisning-0.

    SvaraRadera
    Svar
    1. Tack Arne för länk till intressanta diskussioner!

      Tillåt mig dock att (med glimten i ögat) kritisera dig för du i Newsmill-artikeln använder ordet besserwisser i nedsättande mening. Du är förvisso långt ifrån ensam om detta, men är det inte egentligen något i grunden antiintellektuellt och Jantebetonat att se bättre vetande som något negativt? Själv ser jag det som en av mina missioner (med denna blogg och mina övriga skriverier) att söka återupprätta besserwisserns anseende! ;-)

      Radera
    2. Man kan väl använda ordet "besserwisser" i olika bemärkelser. I vissa sammanhang är man ju per definition en besserwisser: när man vet bättre, och det är ju inget negativt. I en debatt är det bättre att vara den som vet bättre, är mer påläst etc. Men det jag spontant tänker på när jag hör ordet är en lite halvjobbig typ som alltid måste påpeka hur mycket bättre man vet i alla sammanhang. Jag menar, att med näsan i vädret ständigt påpeka fullkomligt triviala smådetaljer. En besserwisser är för mig han som på festen säger att någon just uttalat ölet med fel holländsk accent. Och så vidare. Det kan ju uppfattas som ett socialt handikapp att inte veta när man ska rätta, och när inte. Hoppas jag inte fick den stora jantestämpeln nu :-) Bra blogg förövrigt det vill jag hålla med första talaren om. Hälsningar Olle (inte Häggström)

      Radera
    3. Hehe, ja, folk är som regel förbluffande otacksamma när man påpekar för dem hur Grolsch skall uttalas... :-)

      Radera
  3. Arne Söderqvist22 juli 2012 19:25

    Ordet "Besserwisser" använde jag ironiskt. "Kunskap är makt" lyder ett ordspråk. Tyvärr är det alltför många som har makt över tex. skolmatematiken utan att besitta särskilt stora kunskaper. I de egna ögonen "vet de bättre" än både matematiklärare och tom. matematikprofessorer. De anser sig helt enkelt vara "Besserwissrar" i ordets ursprungsmening.

    Låt mig också kontra med att jag anser din blogg vara mycket läsvärd. Jag har tipsat flera personer om den och även de har uttryckt sin uppskattning.

    SvaraRadera
    Svar
    1. Tack Arne! Jag gör så gott jag kan med bloggen, och hoppas på att även fortsättningsvis få god hjälp av dig och andra kommentatorer...

      Radera
    2. "Kunnskap är mackt" heter det väl?

      Radera
  4. Tack för länktipsen! Det kommer bli intressant läsning.

    SvaraRadera
  5. Att det bara är okunniga provokatörer som Birro och Thente som torgför dessa idéer är tyvärr inte riktigt sant. Jag såg t.ex. att Helena von Schantz som oftast låter vettig också är ute och cyklar på samma stigar:

    http://helenavonschantz.blogspot.se/2012/07/vem-vinner-i-kriget-mellan-matte-och.html

    Sedan kan man fråga sig vad striden står om. Problemet är väl knappast oförmåga att derivera kvoter, utan att alldeles för många lämnar skolan efter 12 år utan de mest basala kunskaperna, t.ex. enklaste former av procenträkning. Att många dessutom saknar läsförståelse och skriver som krattor gör ju inte saken bättre.

    Jag tror att den enda vettiga vägen framåt är differentierad undervisning, men det förefaller politiskt omöjligt.

    SvaraRadera
    Svar
    1. Differentierad undervisning: ja, jag har själv argumenterat för den saken, men som sagt, politiskt är den attans svårsåld.

      Radera
    2. Arne Söderqvist25 juli 2012 23:17

      Skolans matematikundervisning är redan i högsta grad differentierad i och med att eleverna normalt räknar självständigt under lektionerna och läraren förväntas komma och handleda då någon kallar på hjälp. Detta sätt att ”undervisa” har otaliga nackdelar.

      Läroböckerna blir styrande och läraren måste lämna sin professionalism därhän. Eleverna tvingas därmed i stor utsträckning svälja alla dumheter böckerna består med, eftersom läraren inte kan rikta sig till alla elever samtidigt. Ett exempel på vad jag avser är att i en gymnasiebok står att om det är ett minustecken framför en parentes så ska man ”multiplicera in minustecknet i parentesen”.

      Framgångsrika elever får oftast ingen annan stimulans än den att läraren erbjuder dem att få räkna ur en bok avsedd för nästa skolår. Konsekvenserna av denna pedagogik har tydligt visat sig flera gånger, inte minst i internationella jämförelser. Ett litet hopp om förändring är att utbildningsministern nyligen påbjudit en renässans för tavelundervisningen. I samma andetag nämnde ministern också att lärarna måste fortbildas i just tavelundervisning. I stort sett alla lärare som ägnat sig åt denna undervisningsform är alltså troligen pensionerade. Det behövs därmed minst en femårsplan innan något paradigmskifte ens kan skymtas.

      Den heliga principen att inte införa klasser med nivågrupperade elever förblir orubbad. För att även fortsättningsvis kunna slå vakt om denna har man vidtagit en mängd skenåtgärder. En av dem är tillsättandet av den sk. Matematikdelegationen, vars betänkande blev så spretigt att varje tänkbar åtgärd kunde anses ha förankring i denna. Sannolikt var detta en baktanke redan från början. Man ville helt enkelt få stöd för att man var på rätt väg beträffande matematikundervisningen. Ett sådant beteende kan knappast kallas vetenskapligt!

      Andra desperata åtgärder man tagit till är Lärarlyftet I och Lärarlyftet II. Tillsammans blir kostnaden för dessa omkring fyra miljarder kronor. Min uppfattning att dessa åtgärder utgör meningslösa slag i luften har jag stöd för dels i egna erfarenheter och dels i artikeln ”Det är kul att tro på saker” i majnumret 2008 av Svenska Matematikersamfundets ”Medlemsutskicket”. (Detta nummer är dessvärre inte tillgängligt på Internet för närvarande.)

      Två av mina egna erfarenheter av misslyckade satsningar är, att när KTH skulle erbjuda en fortbildningskurs i matematik inom Lärarlyftet I, så vidtalade man inte någon matematiker vid matematikinstitutionen utan utsåg istället en gymnasielärare för uppdraget.
      När vetenskapsparken Tom Tit i Södertälje avsåg att utvidga sin repertoar med inslag av matematik vände man sig till KTH, som inte heller i detta fall vidtalade någon av de egna matematikerna, utan valde istället samme gymnasielärare. Resultatet blev att idén beträffande matematik rann ut i sanden.

      Jag har i åtskilliga artiklar och skrivelser kommit med förslag till hur framgångsrika elevers matematikintresse kunde stimuleras. Jag menar inte att mina idéer måste genomföras. Jag skulle dock vilja ha en debatt med någon av dem som har inflytande över skolmatematiken. Jag har aldrig fått något svar eller ens någon kort kommentar. De styrande är, som Peer Gynt, sig själva nog. Jag har en stark känsla av att man värjer sig och betraktar synpunkter utifrån som ett hot. Jag har också en stark känsla av att det finns ett rejält inslag av nepotism i samband med rekryteringen av medlemmar i kretsen av matematikansvariga inom skolväsendet.

      Jag tror att många av problemen med skolans matematikundervisning faktiskt kunde lösas på ett tämligen enkelt sätt, nämligen genom att införa nivågrupperad undervisning ledd av ämneskompetenta lärare. Men den lösningen är antagligen alldeles för simpel för att ens övervägas.

      Radera
  6. Arne: Nu skrev jag differentierad undervisning och inte differentierad "undervisning" :-)

    I alla fall, jag har aldrig förstått argumenten mot nivågrupperad undervisning. De brukar koka ner till två: 1. Nivågruppering medför social snedrekrytering. 2. Det är fel att peka ut elever som svagpresterande.

    Det första argumentet saknar verklighetsanknytning. Av egen erfarenhet (vilket iofs. har ett begränsat bevisvärde) som barn från "arbetarklassen" vet jag att krävande och stimulerande lärare är det bästa som hänt mig. Det som är säkert är att en nivellerad skola ökar snedrekryteringen, då föräldrar med insikt i studiers betydelse kommer att ge sina barn ett än större försprång. (Det som med än större säkerhet ökar social snedrekrytering är det fria skolvalet, som ger medvetna föräldrar alla möjligheter att isolera sina barn från barn från problematiska sociala miljöer.)

    Det andra argumentet är korkat och hjärtlöst. Korkat för att barn med kognitiva problem (liksom deras kamrater) självklart märker att de inte hänger med. Hjärtlöst då de troligen skulle klara sig bättre i en miljö där all energi ägnas åt deras specifika problem.

    jag har många lärare i bekantskapskretsen som brukar resonera i liknande ordalag (iofs. uppskattade de lärarlyftet). Min egen erfarenhet är nästan tjugo år som universitetslärare där jag kontinuerligt blev tvungen att ägna allt mer föreläsningstid åt relativt elementär matematik (som mina matematikkolleger borde ha delgett studenterna) för att studenterna skulle kunna inhämta mitt eget (ingenjörs)ämne.

    SvaraRadera
  7. Arne Söderqvist29 juli 2012 10:24

    Jag tror att undervisningen skulle upplevas som betydligt meningsfullare av alla inblandade parter, om man finge nivågruppera den. Jag menar också att det måste bli slut på den hävdvunna rätten att ta en eller två veckor ledigt mitt under brinnande termin bara för att det då är reapris på charterresor.

    Med benäget tillstånd klistrar jag in en artikel nedan skriven av min kollega Kari Poutiainen:


    Kalle och Kenji

    Låt oss i detalj jämföra hur det omgivande samhället reagerar när det går dåligt i skolan för svenske Kalle respektive japanske Kenji.

    Det är obehagligt när det går dåligt. Det gäller för såväl skolelever som för yrkesverksamma vuxna. En naturlig reaktion är att fly undan situationer som kan orsaka obehag. Följaktligen är det naturligt för både Kalle och Kenji att försöka fly från sina svårigheter. Flykten från skolan kan ske på olika sätt. Det mest drastiska är att helt enkelt försvinna, dvs. att skolka. Ett annat sätt är att, som ett trängt djur, gå till ”motangrepp”, dvs. att försöka sabotera verksamheten genom störande beteende. Ett tredje är att vara fysiskt närvarande, men andligen frånvarande, alltså att ägna sin tid åt att passivt dagdrömma om allt roligt som den kommersiella ungdomskulturen utanför skolans väggar har att erbjuda.
    Önskan att fly fältet är gemensam för Kalle och Kenji. Skillnaden är samhällets reaktion på denna önskan. Det svenska samhället förser Kalle med en mängd ursäkter att inte ta itu med svårigheterna. En ursäkt kan vara att Kalle skulle vara obegåvad. Resonemanget går ungefär så här.

    ”Skolan är för abstrakt för Kalle. Han utsätts för ständiga överkrav. Men det är inte Kalles fel att han från födseln fått fel genetiskt program för att kunna klara kraven, så därför bör en enklare utbildning ordnas för honom, till exempel någon form av praktisk lärlingsutbildning.”

    Den här ursäkten är vanlig i lärarkretsar och bland skolpolitiker på högerkanten.
    En annan vanlig ursäkt är att stackars Kalle visserligen inte är obegåvad, men att han är ”skoltrött”.

    ”Kalle orkar inte längre hålla på att lära sig abstrakta saker som inte har anknytning till hans vardag. Därför bör skolarbetet konkretiseras så att det utgår från elevernas verklighet.”

    Denna ursäkt är vanlig bland föräldrar, skolbyråkrater och politiker på vänsterkanten.

    En tredje ursäkt är att läraren är dålig. ”Gubben (eller kärringen) förmår inte entusiasmera Kalle och väcka lärandets lust i honom. Detta anses ofta bero på att läraren saknar social kompetens och inte kan ta sina elever på rätt sätt. Läraren är helt enkelt en alltför akademisk och tråkig människa. ”

    Denna ursäkt är vanlig bland elever som inte trivs i skolan och bland journalister och skolpolitiker med egna tråkiga minnen från sin skoltid.
    Det omgivande samhället visar alltså stor förståelse för Kalles beslut att fly skolundervisningen. Politiker och skolbyråkrater (och i många fall även föräldrar) talar om för Kalle att felet inte är hans, utan att det är lärarna och skolan som har misslyckats. I en utvecklingsplan för skolan skrev den dåvarande regeringen i Utvecklingsplan för förskola, skola och vuxenutbildning — kvalitet och likvärdighet Skr. 1996/97:112 följande.

    ”Eleverna tycks mer angelägna än tidigare att framhålla att skolan måste vara utmanande, meningsfull, icke förutsägbar och spännande. Dagens barn och ungdomar är mindre benägna att offra det närvarande för det kommande. Skolan och de vuxna har idag inte heller den auktoritet som kan förmå elever att lyda sådant som de inte finner någon mening eller glädje i.”

    SvaraRadera
  8. Arne Söderqvist29 juli 2012 18:32

    Kalle och Kenji (forts.)

    Med andra ord kan Kalle, med gott samvete och istället för att råplugga i sitt anletes svett, ägna sig åt sådant han finner ”mening eller glädje i”, såsom att lyssna på popmusik, läsa serietidningar, se på spännande hollywoodfilmer, spela dataspel, ringa timslånga telefonsamtal till sina kompisar, klottra på sta’n, dricka öl osv. På utbildningsdepartementet förstår man honom.

    Japanske Kenji har en betydligt kärvare tillvaro. Visserligen finns samma lockande kommersiella ungdomskultur även i Japan. Kenji kan dock inte ägna sig åt denna med lika gott samvete som Kalle. Det japanska samhället förser nämligen inte Kenji med några ursäkter. I Japan finns ingen som tror att Kenji verkligen är så obegåvad att han inte kan klara skolan. I Japan finns ingen som accepterar skoltrötthet som ett legitimt skäl att avstå från skolarbetet och i Japan finns ingen som skyller på läraren.

    I Japan visas ingen förståelse för Kenjis vilja att fly skolundervisningen. Istället får han det brutala beskedet att han är lat och arbetsskygg. Han får veta att med hårt arbete skulle han kunna vända sin situation. Ansvaret ligger på honom och ingen annan. Om han föredrar att roa sig tillsammans med sina kompisar istället för att arbeta hårt får han helt enkelt skylla sig själv. Misslyckandet som följer är hans eget och inte skolans eller lärarnas.

    Det japanska samhället tvingar alltså Kenji att ta ansvar för sina studier på ett helt annat sätt än det svenska ”tvingar” Kalle att ta ansvar för sina. Hos oss är talet om att Kalle måste ta sitt ansvar mest en läpparnas bekännelse. I Japan är motsvarande krav blodigt allvar. I och med att Kenji tar sina studier på allvar blir det också ordning och reda i klassrummet. Elever som tar sina studier på allvar tolererar inte sabotage från störande kamrater. Ordning och reda blir alltså en angelägenhet för hela klassen och inte bara för läraren, som det ofta är hos oss. Undervisningen blir därmed betydligt effektivare.

    Sammanfattningsvis kan sägas att de viktigaste orsakerna till att skolorna i Japan och Östasien över huvud taget når så mycket bättre resultat i tex. matematik än i väst är

    • Huvudansvaret i Asien läggs på eleven och dennes föräldrar, medan det hos oss läggs på skolan och lärarna.

    • I Asien kräver föräldrar och samhälle av eleven att denne ska lyckas, medan kravlöshet nära nog blivit normen hos oss. • I Asien hävdar man att det är träget arbete som ger resultat, medan man hos oss tror att det är generna som bestämmer.

    • Skolframgång värderas högt i Asien, medan den hos oss anses ha ett mer tveksamt värde. Tyvärr är det få svenska politiker, och kanske ännu färre skolbyråkrater, som verkligen förstår var skon klämmer. Ansvaret för lärandet har flyttats till lärarna. Nästan allt som inte fungerar i skolan skylls på lärarna. Såväl elever, föräldrar som politiker gör så, liksom även journalister och till och med många pedagoger.

    1

    SvaraRadera
  9. Arne, jag blir lite förvirrad. Menar du (eller din kollega Kari) på allvar att alla har lika stor förmåga att tiilägna sig t.ex. matematik, "det är bara att kavla upp ärmarna". Menar ni också på allvar att det är en högerförvillelse att vissa kan tjäna på att ägna sina formande år till något som kan ge dem en framtida försörjning och ett tillfredsställande liv istället för att försöka tillägna sig något man har grundläggande svårigheter att någonsin tillägna sig med begränsat värde för ens liv.
    Nu är jag varken höger eller kunskapsfientlig, men jag är också realist. Din kollegas beskrivning av verkligheten är ren lysenkoism. Vi är alla olika. Jag tycker uppriktigt sagt att om Kenji saknar förmåga (dvs. ej är lat) är behandlingen av honom avskyvärd. Hans fortsatta misslyckanden bekräftar allt mer att han saknar människovärde, då hans misslyckande inte beror på orealistiska krav, utan på att han förutsätts inte vilja uppfylla dem. Om det handlar om den late Kenji är det en annan diskussion.
    En klok princip är "av var och en efter förmåga", dvs. vi skall pressa den late Kenji, men inte i onödan plåga den oförmögne Kenji.

    SvaraRadera
  10. Arne Söderqvist31 juli 2012 10:23

    Det är nu ett tag sedan jag diskuterade artikeln med Kari Poutiainen. Jag har för mig att huvudbudskapet avsåg att vara att eleverna kunde bli betydligt framgångsrikare i den svenska skolan med litet hårdare krav. Kari har också försökt framhäva skillnaderna i skolkultur mellan Sverige och Japan. (Han har givetvis även haft Finland i tankarna, där han själv gick sina första skolår. Jag kan nämna att när Kari kom till Sverige tenterade han av hela den svenska gymnasiekursen i matematik i nionde klass. Sedan blev han "befriad" från matematiken i gymnasiet.)

    Jag tyckte att Karis synpunkter var intressanta och klistrade in dem. Ytterligare synpunkter på matematikundervisning finns nu i NM-artikeln "Så kan matematik ge bättre livskvalitet" och alla dess kommentarer. http://www.newsmill.se/artikel/2012/07/28/s-kan-matematik-ge-b-ttre-livskvalitet

    SvaraRadera
  11. Don't you think that Jonas Thente's stupid article in the DN reflects something about the quality of the newspaper too? Of course, everybody is entitled to their opinion, but in order to get it published by a major newspaper, it has to be worth something. Thente's opus is worth nothing, no matter which side you are on.

    SvaraRadera
    Svar
    1. Thentes text visar förvisso att DN:s lägstanivå är beklämmande låg, men detta säger inget om tidningens högstanivå, som jag anser vara hög (se t.ex. skribenter som Lena Andersson, Maciej Zaremba och Carsten Jensen). Jag anser nog att en tidnings opinions- och kultursidor bör dömas efter dess högstanivå snarare än efter dess lägstanivå.

      Radera
  12. Björn Bengtsson berättar på sin blogg om ett inspirerande experiment han nyligen gjort med sina gymnasieelever, helt i linje med den utveckling av matematikundervisningen som jag här förespråkar!

    SvaraRadera