Om matematiska meningslösheters märkliga attraktionskraft

Matematik är ett oundgängligt redskap inom stora delar av vetenskapen. Allra tydligast är detta i fysiken, som från Newton och framåt transformerats av matematiken till den grad att en omatematisk fysik idag är otänkbar. I andra vetenskaper har transformationen inte varit fullt lika total, men det är ändå ett faktum att biologer, geovetare, medicinare, nationalekonomer, psykologer och andra forskare behöver matematiska metoder och modeller (som ett redskap bland andra) för att ta sig framåt i jakten på ny kunskap.

Matematikens språk är oöverträffat exakt, och med hjälp av detta kan man ge dels förklaringsmodeller som ofta ger en bättre förståelse för de studerade fenomenen än som annars hade varit möjligt, dels rigorös stadga och precision åt argument och resultat. Men matematik kan också användas för mindre goda syften, inte minst då den höga status som matematiska resonemang åtnjuter i forskarvärlden kan göra det frestande att stoltsera med sådana enbart för att det ger ett imponerande intryck. Min gode vän och matematikerkollega Kimmo Eriksson reflekterar över detta i sin uppsats The nonsense math effect i senaste numret av den vetenskapliga tidskriften Judgment and Decision Making¹:

The background to this paper is my own subjective experience of a mid-career move from pure mathematics to interdisciplinary work in social science and cultural studies. In areas like sociology or evolutionary anthropology I found mathematics often to be used in ways that from my viewpoint were illegitimate, such as to make a point that would better be made with only simple logic, or to uncritically take properties of a mathematical model to be properties of the real world, or to include mathematics to make a paper look more impressive.

För en rigorös och samtidigt mäkta underhållande dissektion av ett antal flagranta exempel (företrädesvis från postmodernt orienterade franska intellektuella) på användande av matematik utan annat syfte än att imponera vill jag varmt rekommendera Alan Sokals och Jean Bricmonts bok Fashionable Nonsense, där vi bland mycket annat får ta del av stycken som...

Ever since Gödel showed that there does not exist a proof of the consistency of Peano’s arithmetic that is formalizable within this theory (1931), political scientists had the means for understanding why it was necessary to mummify Lenin and display him to the 'accidental' comrades in a mausoleum, at the Centre of the National Community

...av Régis Debray, och följande helt bisarra mästerstycke av Jacques Lacan rörande de imaginära talens betydelse inom psykoanalysen:^2,3

Personally, I will begin with what is articulated in the sigla S(ø) by being first of all a signifier [...]

And since the battery of signifiers, as such, is by that very fact complete, this signifier can only be a line [trait] that is drawn from its circle without being able to be counted part of it. It can be symbolized by the inherence of a (-1) in the whole set of signifiers.

As such as it is inexpressible, but its operation is not inexpressible, for it is that which is produced whenever a proper noun is spoken. Its statement equals its signification.

Thus, by calculating that signification according to the algebraic method used here, namely:

S (signifier)

---------------- = s (the statement)

s (signified)

with S=(-1), produces: s=√-1.

Det verkar inte bättre än att den här sortens matematiska meningslösheter bidragit till att Lacan och hans gelikar blivit så beundrade. Såvitt jag vet har emellertid evidensen för denna effekt hos meningslös matematik varit som bäst anekdotisk. Fram tills nu.

Ovan nämnda artikel av Kimmo Eriksson är den första vetenskapliga och kvantitativa studien av fenomenet. Hans försöksupplägg är snillrikt men enkelt: Högutbildade försökspersoner ställs inför två vetenskapliga abstracts, varav det ena manipulerats genom tillfogandet av en i sammanhanget meningslös mening inbegripandes en matematisk formel. Försökspersonerna ombeds gradera de båda abstractens vetenskapliga kvalitet på en skala från 0 till 100. För att eliminera effekten av att det ena kanske är bättre än det andra redan i omanipulerat skick fick hälften av försökspersonerna det ena abstractet manipulerat, hälften det andra. En statistiskt signifikant effekt om i genomsnitt 4,7 enheter på den 100-gradiga skalan detekterades till förmån för de abstracts till vilken den meingslösa matematiken fogats. Effekten visade sig bero av försökspersonernas ämnesmässiga tillhörighet. För dem som uppgav sin bakgrund naturvetenskap, teknik eller medicin kunde ingen effekt detekteras, men däremot för dem med bakgrund i samhällsvetenskap och humaniora.

Det finns många frågor att ställa angående Kimmos studie. Hurpass representativa vad gäller effekten av att tillfoga meningslös matematik är hans båda abstracts? Hur representativa är hans försökspersoner, erhållna genom en något speciell urvalsmetod, för en större population? Och så skall vi ju komma ihåg att (som jag nyligen förklarat i min uppsats Statistisk signifikans och Armageddon) en statistisk signifikant effekt i en enskild studie inte slutgiltigt bevisar effektens existens. Vi bör alltså vara en smula försiktiga med att dra alltför långtgående och tvärsäkra slutsatser av Kimmos artikel, men den utgör en intressant första analys av något som helt klart förtjänar att studeras.

Fotnoter

1) I samma tidskriftsnummer finns en annan mycket intressant artikel av Kimmo Eriksson, med titeln What do Americans know about inequality? It depends on how you ask them och med Brent Simpson som medförfattare. De visar att de sensationella och mycket uppmärksammade resultat av beteendevetarna Michael Norton och Dan Airley rörande amerikaners syn på inkomstfördelningen i landet är en artefakt av att de som svarar på Nortons och Airleys enkätfrågor är mer eller mindre förvirrade över vad frågorna egentligen betyder.

2) Den långa raden av bindestreck - "----------------" - i det citerade stycket skall föreställa ett divisionsstreck. Just denna estetiska gräslighet kan varken Lacan eller Sokal och Bricmont lastas för. Jag får själv ta på mig skulden, men förbannar samtidigt hur otroligt illa anpassat html är för matematiskt formelspråk.

3) Sokals och Bricmonts omedelbara reaktion inför detta stycke är värd att återge:

Here Lacan can only be pulling the reader's leg. Even if his 'algebra' had a meaning, the 'signifier', 'signified' and 'statement' that appear within it are obviously not numbers, and his horizontal bar (an arbitrarily chosen symbol) does not denote the division of two numbers. Therefore, his 'calculations' are pure fantasies.

Tilläggas kan att Lacan följer upp dessa fantasier med att några sidor senare (och till Sokals och Bricmonts stora fasa) sätta likhetstecken mellan √-1 och det manliga könsorganet.

Shut up and calculate?

I en bloggpost för snart ett halvår sedan rubricerad Köpenhamnstolkning vs mångs världar uttryckte jag intresse för ett ruskigt besvärligt område: tolkningar av kvantmekaniken. Jag inledde med att konstatera att...

kvantmekaniken har varit spektakulärt framgångsrik i att ge matematiska förutsägelser som stämmer med observationer. Sämre är det ställt när det gäller sökandet efter en intuitivt tilltalande och begriplig tolkning av ekvationerna. Många tolkningar har föreslagits, inklusive den strikt instrumentalistiska position vilken dömer ut sökandet efter en djupare sanning bortom observationerna och ekvationerna såsom meningslös, men någon lösning som är så tillfredsställande att den förmår samla konsensus bland fysiker tycks inte föreligga

...varefter jag gick vidare med att referera vad ett (starkt personligt färgat) urval av kloka tänkare på området sagt om ett par av de populäraste tolkningarna, nämligen Köpenhamnstolkningen och många världar-tolkningen.

Diskussionen om de olika tolkningarna väckte visst intresse i bloggpostens kommentarsfält. Det var emellertid först i kommentarsfältet till den senare bloggposten Hårdförast bland bloggande matematiker som den tog riktig fart. Ett par av kommentatorerna - Emil Karlsson och Daniel L - tog tydligt ställning för den instrumentalistiska ståndpunkt som ibland lite vanvördigt sammanfattats med orden "Shut up and calculate!".¹ Alltså för den position enligt vilken vi bör avstå från metafysiska spekulationer om den verklighet som ligger bakom och beskrivs av kvantmekanikens ekvationer, för att istället nöja oss med ekvationerna och konstatera att de ger förträffliga förutsägelser av våra observationer. Jag hoppas att dessa båda herrar alltjämt har rätt frekvens inrattad (och kanske rentav känner sig manade att på nytt kommentera), när jag nu skall säga några ord om varför jag finner även instrumentalismen en smula problematisk.

Liksom minst en gång tidigare vill jag här hänvisa till Jean Bricmonts och Alan Sokals läsvärda och välavvägda uppsats Defense of a Modest Scientific Realism. De diskuterar intrumentalism mer generellt än bara i frågan om kvantmekanikens tolkningar, och lyfter bland annat fram problemet med vad som menas med "observerbara" storheter. Om intrumentalismen nu bara tillåter oss att befatta oss med sådana, var skall vi då dra gränsen? Får en forskare med nedsatt syn använda glasögon och ändå tala om sådant han ser som reellt existerande objekt? Går det bra med förstoringsglas? Mikroskop? Radar? Radioteleskop? Och om jag klarar mig utan artificiella synhjälpmedel - kan jag då verkligen observera stolen framför mig? Jag har ju knappast någon direktkontakt med der Stuhl an sich, utan det är min hjärna som drar teoretiska slutsatser av förekomsten av en stol på basis bl.a. av den elektromagnetiska strålning som faller in mot mina näthinnor. Bricmont och Sokal går vidare från vardagsföremål till dinosaurier:

The second, deeper problem with instrumentalism is that the meaning of the words used by scientists goes far beyond what is "observable". To take a simple example, should paleontologists be allowed to speak about dinosaurs? Presumably yes. But in what sense are dinosaurs "observable"? After all, everything we know about them is inferred from fossil data; only the fossils are "observed". These inferences are not, of course, arbitrary: they can be justfied by evidence from biology (that all bones were once part of organisms) and geology (concerning the processes that transform bones into fossils). The point is, simply, that fossil evidence is evidence for the existence of something other than itself: namely, the fossils of dinosaur bones are evidence for the existence (at some time in the past) of dinosaurs. And the meaning of the word "dinosaur" is not easily expressible in a language that would refer only to fossils. For example, assertions about dinosaurs’ eating habits would have to be rephrased as assertions concerning the spatial correlation of certain types of fossils with certain other types of fossils. This seems unhelpful, to put it mildly.

Men måhända säger inte pralallellen med dinosaurier allt om hur vi bör förhålla oss till materiens minsta beståndsdelar och till kvantmekaniska fenomen. Bricmont och Sokal fortsätter:

Some instrumentalist philosophers of science are prepared to classify dinosaurs as "observable" on the grounds that, though we cannot observe them, they would have been observable to human beings had the the human species existed 100 million years ago. Now, anyone is free to define the word "observable" however he wishes; but there is no guarantee that the word, so defined, has any epistemological significance. In reality, neither dinosaurs nor electrons are ever observed directly; both are inferred from other observations, and the arguments supporting these two inferences are of comparable strength. It seems to us that, either one allows such inferences and accepts the probable reality (in some sense or other) of both dinosaurs and electrons, or else one rejects all such inferences and refuses to talk about either. To be sure, the meaning of "electron" is far murkier than that of "dinosaur": since we can form mental pictures of mid-size objects like dinosaurs, the meaning of the words referring to them is reasonably clear intuitively even if the objects are never directly observed, which is not necessarily the case for entities like electrons. That is why we are careful to assert only that electrons exist "in some sense or other", while admitting frankly our perplexity about what electrons really are.

En konsekvent tillämpad instrumentalistisk vatenskapssyn synes orimlig och ohållbar. Men kanske är den ändå motiverad, i fallet med kvantmekaniken, där alla föreslagna tolkningar framstår som så kontraintuitiva och besynnerliga - rentav som helt crazy? Kanske finns ingen "kvantmekanikens verkliga natur", eller åtminstone ingen sådan inom den mänskliga fattningsförmågan?

Den inställningen kan man ha, och möjligen skulle den rentav kunna vara rätt. Men skall vi verkligen på detta vis ge upp jakten på en djupare förståelse? Med en Popperiansk vetenskapssyn handlar vetenskapen inte bara om empiri - om att observera världen. Ett lika viktigt moment är att formulera de hypoteser och teorier som sedan kan utsättas för empirisk prövning. Innebär inte det instrumentalistiska synsättet att vi ger upp det Popperianska hypotes- och teoribyggandet, och därmed möjligheterna till fortsatta framsteg?

Med åberopandet av Popper följer kravet på hypotesers falsifierbarhet. Om inte vi på empirisk väg kan testa de olika tolkningarna av kvantmekaniken är det för Popperianen inte mycket bevänt med vetenskapligheten i dessa. Men experiment där Köpenhamnstolkningen och många världar-tolkningen ger olika förutsägelser har faktiskt föreslagits. Och även utan sådana förslag på experiment tycker jag att de olika tolkningarna kan ha ett existensberättigande, såsom teorier att bygga vidare på och så småningom komma fram till något mer förfinat som kanske hamnar inom falsifierbarhetens gränser. Jag tror hur som helst att det är på tok för tidigt att ge upp jakten på en djupare förståelse för kvantmekanikens sanna natur.

Fotnot

1) Viss förvirring råder om ursprunget till detta citat. Det har ibland tillskrivits Richard Feynman eller Paul Dirac, men det verkliga upphovsmannen är troligen David Mermin. Googling ger en mängd motstridiga besked.

Crazy!

Crazy betyder galen. Kan en hypotes om hur världen är beskaffad vara värd att ta på allvar även om den skulle vara helt crazy?

Svaret på frågan beror på exakt vad man menar med crazy. Det slår mig att några av mina favoriter bland nutida tänkare inom vetenskapsteorin använder ordet på drastiskt olika vis. Å ena sidan har vi fysikerna Jean Bricmont och Alan Sokal, som använder ordet crazy i en betydelse som gör att svaret rimligtvis måste bli nej. Å andra sidan har vi filosofen Eric Schwitzgebel, som ger ordet en definition med vilken vi nog tvingas besvara frågan med ja.

Vi börjar med Bricmont och Sokal. I deras synnerligen läsvärda essä Defense of a modest scientific realism diskuterar de bland annat det problem som kallas underdeterminering av vetenskapliga teorier, vilket innebär att oavsett vilka observationer vi gjort finns mer än en teori (i själva verket oändligt många) som kan förklara observationerna:

In order to clarify the situation, it is important to understand how the underdetermination thesis is established; then, its meaning and its limitation become much clearer. Here are some examples of how underdetermination works; one may claim that:

- The past did not exist: the universe was created five minutes ago will all the documents and all our memories referring to the past in their present state. Alternatively, it could have been created 100 or 1000 years ago.

- The stars do not exist: instead, there are spots on a distant sky that emit exactly the same signals as those we receive.

- All criminals ever put in jail were innocents. For each alleged criminal, explain away all testimony by a deliberate desire to harm the accused, declare that all evidence was planted by the police and all confessions were obtained by force.

Of course, all these "theses" may have to be elaborated, but the basic idea is clear: given any set of facts, just make up a story, no matter how ad hoc, to "account" for them without running into contradictions.

It is important to realize that this is all there is to the general (Quinean) underdetermination thesis. Morever, this thesis, although it played an important role in the refutation of the most extreme versions of logical positivism, is not very different from the observation that radical skepticism or even solipsism cannot be refuted: all our knowledge about the world is based on some sort of inference from the observed to the unobserved, and no such inference can be justified by deductive logic alone. However, it is clear that, in practice, nobody ever takes seriously such "theories" as those mentioned above, any more than they take seriously solipsism or radical skepticism. Let us call them "crazy theories" (of course, it is not easy to say what it means for a theory to be non-crazy). Note that those theories require no work: they can be formulated entirely a priori. On the other hand, the difficult problem, given a set of data, is to find even one non-crazy theory that accounts for them. Consider for example a police enquiry about some crime: it is easy enough to make up a story that "accounts for the facts" in an ad hoc fashion (sometimes lawyers do just that); what is hard is to discover who actually commited the crime and to obtain evidence demonstrating that beyond reasonable doubt. Reflecting on this elementary example clarifies the meaning of the underdetermination thesis. Despite the existence of innumerable "crazy theories" concerning any given crime, it sometimes happens in practice that there is a unique theory (i.e. a unique story about who commited the crime and how) that is plausible and compatible with the known facts; in that case, one will say that the criminal has been discovered (with a high degree of confidence, albeit not with certainty). It may also happen that no plausible theory is found, or that we are unable to decide among several suspects which one is really guilty: in these cases, the underdetermination is real.

One might next ask whether there exist more subtle forms of underdetermination than the one revealed by a Duhem-Quine type of argument. In order to analyze that question, let us consider the example of classical electromagnetism. [...]

Som kontrast, låt oss ta del av Eric Schwitzgebels beskrivning av den hållning han kallar crazyism:

Let's call a philosophical position crazy if it's strongly contrary to common sense and the overall state of scientific and other evidence doesn't decisively support it. So, for example, panpsychism -- the view that all objects have minds -- would appear to be crazy. So would solipsism, the view that I am the only being who exists in the universe. So would radical inductive skepticism, the view that we cannot be justified in believing that the sun will rise tomorrow or that grass will by and large remain green. Of course, if the ultimate weight of evidence decisively supported one of these philosophical positions, that position would no longer be crazy. Heliocentrism and special relativity might have been crazy when first conceived but scientific evidence soon rendered them non-crazy. I assume this is not the case for panpsychism, solipsism, or radical inductive skepticism.

Now, crazyism. Crazyism about a topic is the view that something crazy must be among the core truths about that topic. Crazyism can be justified when we have good reason to believe that one among several crazy views must be true but where the balance of evidence supports none of the candidates strongly over the others. [...]

Perhaps crazyism is justified regarding interpretations of quantum mechanics. [...] I am inclined to think that crazyism is also a justifiable attitude to take toward the relationship between conscious experience and the physical world. All viable options are, when closely examined, strongly contrary to common sense, and none is decisively supported by the overall state of the evidence.

Jag är böjd att instämma i Bricmonts och Sokals synsätt, liksom i Schwitzgebels crazyism, och det finns inte ens någon konflikt mellan dem trots att de ger olika svar på min inledande fråga. De divergerande svaren kommer sig av att de använder ordet crazy i helt olika betydelser.