För geografi- och matematiknördar

Nörd definieras som en person som uppvisar entusiastiskt intresse för något annat än fotboll. Nördar kan kategoriseras med avseende på vad de intresserar sig för. Två vanliga exempel är geografinördar och matematiknördar. Jag själv råkar tillhöra båda kategorierna, och tycker mig i min omgivning har observerat att de samanfaller oftare än vad man kan vänta sig under ett antagande om nollkorrelation. Finns det då ett samband mellan geografi och matematik som kan förklara den positiva korrelation jag tycker mig kunna se? Jag lämnar den frågan öppen, för att här nöja mig med att presentera ett exempel på ett fenomen inom geografi och ett inom matematik, vilka på lämplig abstraktionsnivå kan förstås som relaterade.

1. Geografi

På den för geografinördar tilltalande webbisdan Some interesting Islands and Lakes kan vi ta del av följande upplysningar:

• Världens största ö är Grönland.
• Världens största sjö är Kaspiska havet.
• Världens största sjö på en ö är Nettilling Lake på Baffin Island i Kanada.
• Världens största ö i en sjö är Manitoulin Island i (den kanadensiska delen av) Lake Huron.
• Världens största ö i en sjö på en ö är Pulau Samosir i Danau Toba på Sumatra i Indonesien.
• Världens största sjö på en ö i en sjö är Lake Manitou på ovan nämnda Manitoulin Island i Lake Huron.
• Världens största sjö på en ö i en sjö på en ö är Crater Lake på Vulcano Island i Lake Taal på Luzon i Filippinerna.
• Världens största ö i en sjö på en ö i en sjö är ett namnlöst stycke land i Mindemoya Lake på Manitoulin Island i Lake Huron.
• Världens största ö i en sjö på en ö i en sjö på en ö är Vulcan Point i ovan nämnda Crater Lake på Vulcano Island i Lake Taal på Luzon i Filippinerna.

Fascinerande! Det visar sig emellertid att den avslutande uppgiften om Vulcan Point inte stämmer, och att det finns en namnlös ö - 300 meter lång och 50 meter bred, men klart större än Vulcan Point - i en sjö på en ö i en sjö på Victoria Island i Kanada. Tiden får utvisa om denna rekordbok kräver ytterligare revidering, och om någon orkar gräva ned sig ytterligare något snäpp i hierarkin.

2. Matematik

Låt oss tänka oss ett bikakemönster av sexhörningar, och att detta mönster sträcker sig oändligt långt i alla riktningar i planet. Låt oss vidare tänka oss att varje sexhörning oberoende av varje annan färgas röd med sannolikhet p och vit med den återstående sannolikheten 1-p. Följande figur visar ett ändligt utsnitt av denna så kallade perkolationsprocess,¹ i det symmetriska fallet med p=0,5.

Vi kan tänka oss att de röda sexhörningarna representerar land, medan de vita representerar vatten. Vilken struktur av öar och sjöar kommer att uppstå i en sådan perkolationsprocess? Svaret visar sig dramatiskt bero på p i anslutning till det som kallas det kritiska värdet, som för just detta slags perkolationsprocess är just p=0,5. Följande trikotomi gäller nämligen, med sannolikhet 1.²

• För p<0,5 (exempelvis p=0,49999) uppstår en oändlig vit ocean med ändliga röda öar. På vissa av dessa öar förekommer sjöar, och i vissa av dessa sjöar förekommer öar, etc. Varje sjö och varje ö är emellertid del av en ändlig (och vanligen ganska kort) sådan ö-sjö-hierarki.
• För p>0,5 (exempelvis p=0,50001) uppstår en oändlig röd kontinent med ändliga vita sjöar. I vissa av dessa sjöar förekommer öar, och på vissa av dessa öar förekommer sjöar, etc. Varje sjö och varje ö är del av en ändlig (och vanligen ganska kort) sådan ö-sjö-hierarki.
• För p=0,5 uppstår varken någon oändlig kontinent eller någon oändlig ocean. Istället kommer varje ö att ligga i en sjö som ligger på en ö i en sjö på en ö i en sjö på en ö i en sjö... och så vidare i en oändlig hierarki.

Fotnoter

1) Perkolationsteori råkar också vara det område där jag gjort mina mest uppmärksammade vetenskapliga insatser.

2) Denna trikotomi bevisades slutgiltigt av John Wierman i en viktig uppsats från 1981, baserad på Harry Kestens motsvarande resultat för kantperkolation på kvadratgittret i en ännu viktigare uppsats från 1980. Dessa resultat kan ses som kulmen på den tidens omfattande studium av perkolation på plana gitter, och fokus kom därefter alltmer att förskjutas till högre dimensioner. Perkolation på bikakegittret fick emellertid under 00-talet en ny glansperiod tack vare nya insikter av bland andra Stanislav Smirnov och Oded Schramm.

Oded Schramm 1961-2008

Idag är det tre år sedan Oded Schramm den 1 september 2008 omkom i en klättringsolycka på Guye Peak öster om Seattle i USA. Oded, som var en varmt uppskattad vän och en av världens absolut främsta matematiker, blev 46 år gammal. För mer om Odeds liv och gärning hänvisar jag till den minnesteckning jag i november samma år läste upp för Kungliga Vetenskapsakademien, där Oded blott några månader före sin död blivit invald som utländsk ledamot.

Odeds största insatser var inom sannolikhetsteorin. Utan att darra på manschetten vågar jag påstå att Oded gjorde större avtryck på det området än någon annan enskild person de senaste decennierna. Allra mest inflytelserik blev han genom skapandet av SLE (av honom själv uttytt stochastic Loewner evolution men numera vanligen uttolkat Schramm-Loewner evolution), som erbjuder ett helt nytt sätt att förstå det storskaliga beteendet hos perkolation och andra kritiska system i två dimensioner. För den som vill fördjupa sig i SLE rekommenderar jag Steffen Rohdes uppsats Oded Schramm: From Circle Packings to SLE. Andra banbrytande delar av Odeds produktion redovisas och diskuteras i Christoph Garbans uppsats Oded Schramm's Contributions to Noise Sensitivity och i min egen Percolation Beyond Z^d: The Contributions of Oded Schramm. Dessa tre uppsatser återfinns också, tillsammans med ett urval om dryga 30 av Odeds egna arbeten, i dubbelvolymen Selected Works of Oded Schramm som jag redigerat tillsammans med Odeds mångårige vän och samarbetspartner Itai Benjamini, och som vilken dag som helst nu kommer att finnas på bokhandelsdiskarna till ett pris om inte stort mer än 1500 kr - två rejäla tegelstenar och ett hett julklappstips för den matematikintresserade!