Visar inlägg med etikett Johan Wästlund. Visa alla inlägg
Visar inlägg med etikett Johan Wästlund. Visa alla inlägg

fredag 19 juli 2019

Finns information? Ett meningsutbyte med Ulf Danielsson

För några veckor sedan hade jag ett meningsutbyte med fysikern Ulf Danielsson1 på Patrik Lindenfors Facebooksida om begreppet information och huruvida information verkligen existerar. Jag fann det tillräckligt intressant för att förtjäna publicering har på bloggen, och med Ulfs tillåtelse gör jag det här nedan.

Det hela började med att Patrik läste en intervju med Ulf, rubricerad Tro inte på spöken, i senaste Axess, och blev provocerad, något han uttryckte i sin Facebookpost. Jag hade själv blivit provocerad2 på ungefär samma sätt när jag läste samma intervju någon vecka tidigare. Hur som helst, Ulf svarade Patrik, jag hakade på, och resultatet blev som följer.

* * *

UD: Det som är märkligt är att det jag hävdar inte ses som en självklarhet för den med en naturvetenskaplig grundsyn. Att säga ”information är en egenskap hos materien” är snömos. Låt mig ta ett exempel. En vägskylt med talet 70. Skylten informerar oss om att här får man inte köra fortare än 70 km/h (åtminstone om skylten befinner sig i Sverige). Denna information är inte alls en egenskap hos själva skylten. Det finns inte ens något ”70” hos den materia som bygger upp skylten. Om en symbolreform genomfördes där siffrorna 3 och 7 bytte betydelse skulle detta inte på något sätt förändra karaktären hos den materia som skylten består av. Isolerat innehåller skylten ingen som helst information om en hastighetsbegränsning. För att det som skylten avses förmedla skall ha någon mening krävs att ett annat materiellt system, vanligen den biologiska hjärnan hos en bilförare, gör en tolkning av skylten och förhoppningsvis justerar sitt beteende. Den aktuella informationen existerar inte oberoende av denna växelverkan utan enbart i relation till en uttolkare.

Mitt enkla budskap är att allt är materia och att alla de modeller vi gör av världen, inklusive de begrepp vi använder oss av, inte existerar på annat sätt än i sin materiella form. Vi är begränsade biologiska varelser, fångna i och delar av samma fysiska värld som den vi vill beskriva. Det finns en objektiv fysisk värld (detta är förövrigt det enda som finns) som vi med viss framgång lyckas beskriva med hjälp av vetenskapliga modeller som gör bruk av begrepp som matematik, information och naturlagar. Dessa begrepp utgör en karta som sitter rent fysiskt i våra huvuden och liksom alla kartor inte är identisk med den objektiva verklighet den försöker spegla.

I det dagliga livet behöver man inte vara så noga med åtskillnaden. Man kan många gånger handskas med begreppen som om de var identiska med verkligheten. Det är just det som är så fiffigt med riktigt bra modeller. Men när man vill gå lite djupare är det helt centralt att upprätthålla distinktionen. Begreppet information har i vissa kretsar getts en betydelse som går långt utöver den väldefinierade roll den spelar i vetenskapligt modellbygge (inklusive inom den esoteriska fysik som jag sysslar med rörande kvantgravitation och svarta hål.) Den ges i populärkulturella sammanhang en obeorende existens som inbjuder till spekulationer som gränsar till det rent religiösa när man inbillar sig att mänskliga medvetanden kan reduceras till ettor och nollor och via något som liknar själavandring laddas upp på datorer. Det är detta larv jag vänder mig emot.

OH: Om medvetandet kan man ha olika uppfattning, Ulf, vilket du och jag har (se gärna Avsnitt 3 i http://www.math.chalmers.se/~olleh/UploadingPaper.pdf), vilket i sin tur är helt i sin ordning. Men din tvärsäkerhet förvånar mig en smula, och om jag hade varit en upload hade jag blivit förnärmad och förgrymmad över den flagranta kol-chauvinism du ger uttryck för!

Att döma av ditt exempel med 70-skylten verkar du ha en Searliansk syn på informationsinnehåll och medvetande - en syn jag personligen har svårt att acceptera. Låt mig utmana med att i ditt exempel byta ut 70-skylten mot plåten ombord på Pioneer 10 och 11 - eller för den delen en sekvens av N1*N2 ettor och nollor, där N1 och N2 är hyfsat stora primtal med ungefär samma kvot N1/N2 som höjd/längd hos plåten, och där ettorna och nollorna svarar mot svarta och vita pixlar i en digital bild av plåten. Anser du att även denna plåt, och dess digitala motsvarighet, saknar informationsinnehåll? Jag gissar (men rätta mig gärna om jag har fel!) att du i konsekvensens namn svarar nej på det, och därmed hamnar i en ståndpunkt jag finner orimlig.

UD: Om du inte har någon slug baktanke tillför dina exempel ingenting nytt. Min inställning är konsekvent densamma. Att symboler och ord i sig själva och oberoende av sitt sammanhang skulle kunna bära på en absolut mening jämställer jag med magi vilket är för mig fullständigt främmande. Det vore intressant om du gav din tolkning av exemplet med 70-skylten. Jag är särskilt intresserad av på vilket sätt en symbolreform (där betydelsen av symbolerna 3 och 7 byts ut) registreras av den materia som bygger upp skylten.

OH: En enda bit ger ingen information utan kontext. Knappast 10 bitar heller, men någonstans kring uppskattningsvis 100 eller 1000 bitar börjar det bli möjligt att förmedla något utan att mottagaren behöver känna till kontexten.

70-skylten är helt enkelt för torftig för att förmedla information till den som inte har relevant kodbok. Pioneer-plåten är det inte. Den bär på information som varje tillräckligt avancerad civilisation i vårt universum åtminstone till del kommer att (trots avsaknad av med oss gemensamt kulturell historia) kunna avkoda och på så vis begripa vår avsikt.

Måhända går det här att invända att det bara är genom den kontext som vårt universum och dess fysik ger som Pioneer-plåten blir begriplig, och att plåten därmed i sig inte bär på någon information. Den tankegången, om än en smula sökt, kan jag ändå ha en viss förståelse för, och jag blir i så fall tvungen att korrigera mitt exempel ett snäpp till:

Låt oss sända meddelandet

    1101110111110111111101111111111101111111111111011111111111111111011111111111111111110111111111111111111111110...
Om vi utsträcker det till säg 1000 bitar så vågar jag lova att varje tillräckligt avancerad civilisation (i vårt universum med vår fysik, eller i något helt annat) som läser meddelandet kommer att tänka "aha, primtalssekvensen!". Denna information ligger i själva meddelandet och kräver ingen kontext överhuvudtaget. Eller om vi skickar en tillräckligt stor 3D-realisering (två rumsdimensioner och en tidsdimension) av Game of Life, så kommer reaktionen att bli "Oh wow, vilken cool cellulär automat, kolla de har upptäckt hur man riggar en fabrik som tillverkar gliders!". Denna information ligger i meddelandet och kräver ingen kontext överhuvudtaget. Och från Game of Life-exemplet är det lätt att gå vidare och inse att vi med tillräcklig ansträngning kan berätta i stort sett vad vi vill om livet här på jorden utan att mottagaren behöver ha någon med oss gemensam kodbok eller kontext överhuvudtaget.

Allt detta kan man förstås förneka om man ditchar den matematiska platonismen och hävdar att matematiken blott är en kulturell konstruktion, men då har man verkligen irrat bort sig. Primtalssekvensen finns, oavsett oss människor, eller något fysiskt överhuvudtaget.3

UD: Jag tror vi gjort framsteg. Du tillstår att
    det bara är genom den kontext som vårt universum och dess fysik ger som Pioneer-plåten blir begriplig, och att plåten därmed i sig inte bär på någon information.
Du ser det visserligen som lite sökt men ändå som varande en möjlig ståndpunkt. I mer lättviktiga sammanhang behöver man inte vara så petig men när det gäller det vi nu avhandlar är det centralt. Utan ett yttre kontext bär alltså inte ens Pioneerplåten på någon information.

Vi skulle kunna lämna allt vid denna bräckliga enlighet och ta sommarlov, men jag kan inte låta bli att dra det ett varv till. Precis som du indikerat kopplar detta över till Searle och gör enligt min mening teorin om medvetande baserat på beräkningar ohållbar. En räknande dator är inte mer medveten än en 70-skylt. Oavsett om någon tittar på den eller ej.

Jag gissar att din utväg blir en platonsk syn på matematiken – vilket jag förstår är vad du förespråkar. För egen del finner jag en utanför materien existerande idévärld full med matematik lika orimlig som en religiöst motiverad andevärld. Lyckligtvis finns andra alternativ till platonismen än kulturell konstruktion. Som motståndare till allt vad dualism heter ser jag det som betydligt rimligare att matematiken till en del är biologiskt konstruerad och djupt rotad i våra evolverade hjärnor baserad på en rent fysisk erfarenhet av världen. För mig är fysiken och materien mer fundamental än matematiken. Om detta är vi nog knappast överens.

OH: Tack Ulf för i någon mån klargörande svar! Om vi här har närmat oss roten till våra divergerande ståndpunkter är det helt klart ett framsteg. Att fysiken skulle utgöra ett fundament för matematiken är mig mycket riktigt främmande, men är kanske inte så lätt att motbevisa (bortom i intuitiva upplevelser grundade utrop typ "hur i hela fridens namn skulle ett stycke materia kunna ha betydelse för huruvida antalet primtal är oändligt?"). Vi kanske får anledning att återkomma i ämnet?

Tills dess, tillåter du att jag återpublicerar vårt replikskifte på min blogg?

UD: Så många gånger du vill!

Fotnoter

1) Jag har känt Ulf sedan 2006 (tror jag det är), jag tycker bra om honom, och vi har oftast (om än inte alltid, vilket väl framgår av denna bloggpost) utmärkt harmonierande uppfattningar om livet, universum och allting.

Bland mina möten med Ulf är det jag kanske allra helst drar mig till minnes vårt gemensamma uttåg från klimatmötet i Engelsberg den 6 maj 2010. Själva mötet var ganska gräsligt, och (i efterhand) uppenbart riggat för att framställa klimatvetenskap och klimatförnekeri som två lika legitima utgångspunkter. Ulf och jag var där för att, jämte Johan Rockström, försvara vetenskapen och det vetenskapliga förhållningssättet mot attacker från klimatförnekare som Peter Stilbs och Maggie Thauersköld Crusell. Innan det avslutande eftermiddagspasset var över reste Ulf och jag oss för att lämna lokalen. Detta bottnade inte i något slags protest mot hur mötet utvecklats (även om en sådan protest helt klart hade varit befogad), utan helt enkelt i att vi behövde gå för att hinna med ett tåg. Medan vi var på väg ut ur lokalen hojtade den ökände klimatförnekaren och pseudovetenskapsivraren Nils-Axel Mörner att "nu lämnar råttorna det sjunkande skeppet!", varpå mötets moderator Lotta Gröning svarade att "så skall man väl inte säga om denna vackra byggnad". Att på detta sätt bli förolämpad av en fullblodsstolle som Mörner har jag inget emot, men jag hade mycket väl kunnat känna mig illa till mods av Grönings implicita instämmande i Mörners zoologiska kategorisering, om det inte vore för (och detta är poängen med att jag återger detta minne) att förolämpningen riktades inte bara mot mig utan även mot Ulf, vars insatser som fysiker och intellektuell är tillräckligt beundransvärda för att min känsla av att ha blivit förolämpad klart skulle övereskuggas av den smickrande upplevelsen av att ha buntats ihop med en riktigt framstående professorskollega.

2) Rubrikens "spöken" syftar på datorer med medvetande. Ofta med en så braskande rubrik kan man misstänka att någon redigerare gått över styr, men i detta fall är den grundad i Ulfs intervjusvar, som innehåller en passage med ordalydelsen
    att det skulle kunna finnas något slags medvetande, någon subjektiv närvaro inuti datorn, det är lika dumt som att tro på spöken.
Frågan om medvetandets natur hör till de största olösta problem som överhuvudtaget finns, och att uttrycka sig så kategoriskt som Ulf gör här tycker jag uppriktigt talat tyder på en illa kalibrerad grad av epistemisk ödmjukhet.

En ledtråd till hur Ulf tänker i denna fråga finns i ingressens "Det finns inga som helst belägg för att datorer skulle ha ett medvetande". Det kan man förstås hävda, men man kan med samma kraft hävda att det heller inte finns några belägg för att datorer inte skulle (kunna) ha ett medvetande, och Ulf lägger inte fram något argument som förmår bryta denna symmetri. Exakt vad som får honom att likväl vara så tvärsäker vet jag inte, men jag misstänker att han begår samma förhastade jump to conclusions som jag tillskriver Massimo Pigliucci i min uppsats Aspects of mind uploading:
    Pigliucci knows of exactly one conscious entity, namely himself, and he has some reasons to conjecture that most other humans are conscious as well, and furthermore that in all these cases the consciousness resides in the brain (at least to a large extent). Hence, since brains are neurobiological objects, consciousness must be a (neuro-)biological phenomenon. This is how I read Pigliucci’s argument. The problem with it is that brains have more in common than being neurobiological objects. For instance, they are also material objects, and they are computing devices. So rather than saying something like “brains are neurobiological objects, so a decent theory of consciousness is neurobiological”, Pigliucci could equally well say “brains are material objects, hence panpsychism”, or he could say “brains are computing devices, hence CTOM [computational theory of mind]”, or he might even admit the uncertain nature of his attributions of consciousness to others and say “the only case of consciousness I know of is my own, hence solipsism”. So what is the right level of generality? Any serious discussion of the pros and cons of CTOM ought to start with the admission that this is an open question. By simply postulating from the outset what the right answer is to this question, Pigliucci short-circuits the discussion, and we see that his argument is not so much an argument as a naked claim.

3) Progressionen i denna replik, från primtalssekvensen via Game of Life till vår fysiska värld, är ett pedagogiskt grepp jag lånat av vännen och matematikerkollegan Johan Wästlund.

Edit 22 juli 2019: Samma meningsutbyte finns nu, i annan (men ändå ganska lik) inramning på Ulfs blogg.

lördag 25 november 2017

900 grader

Att vinkelsumman i en triangel är 180° känner de flesta till, och ganska många känner nog också till att det bara gäller i det euklidiska planet. I icke-euklidisk geometri (som exempelvis sfärisk) uppstår andra vinkelsummor.

I kaffepausen till en sannolikhetsteoriworkshop tidigare i höstas frågade matematikerkollegan Johan Wästlund mig om jag händelsevis någon gång tänkt på hur stor vinkelsumman som mest kan bli i sfärisk geometri. Det hade jag inte, men då jag blev klar över svaret frågade jag Johan om det möjligen skulle kunna gå att bädda in svaret i en ny text till någon gammal Ebba Grön-låt. Han tände direkt på idén, och återkom till mig några dagar senare med följande text:
    Om du mäter en triangel så blir dess
    vinkelsumma enligt Euklides
    alltid samma, men om du kan kröka
    på själva ytan, kan vinklarna öka!

    Vi ryser i själen, det är så ballt,
    vi snackar ett plan, som går ett varv
    Ja, vi ryser i själen, det är så ballt,
    vi snackar ett plan, som går ett varv

    Det blir
    Nio hundra grader
    du kan lita på mig du kan lita på mig
    Nio hundra grader
    du kan lita på mig du kan lita på mig

    Euklides hade fem axiom,
    men sen kom det en astronom
    och sa det femte det kan inte gälla,
    där inga linjer är parallella

    Vi ryser i själen, det är så ballt,
    vi snackar ett plan, som går ett varv
    Ja, vi ryser i själen, det är så ballt,
    vi snackar ett plan, som går ett varv

    Det blir
    Nio hundra grader
    du kan lita på mig du kan lita på mig
    Nio hundra grader
    du kan lita på mig du kan lita på mig

    Jag ska förklara om du slutat tro
    Triangelns hörn de har rendez-vous
    på andra sidan, där sfären tar slut
    upp-och-ner, och med insidan ut

    Vi ryser i själen, det är så ballt,
    vi snackar ett plan, som går ett varv
    Ja, vi ryser i själen, det är så ballt,
    vi snackar ett plan, som går ett varv

    Det blir
    Nio hundra grader
    du kan lita på mig du kan lita på mig
    Nio hundra grader
    du kan lita på mig du kan lita på mig

    Nio hundra grader...

Och nu har YouTube äntligen begåvats med en inspelning av denna sång! Det är jazzkvartetten Da Möbius band (bestående av matematikerna Mats Andersson, Samuel Bengmark, Torbjörn Lundh och Klas Richardsson) som står för det eminenta framförandet:

fredag 15 april 2016

Wästlund om Newcombs paradox

Denna bloggpost är en uppföljare till mitt ett par veckor gamla inlägg Aaronson om Newcombs paradox, till vilket jag nu tillåter mig hänvisa för en sammanfattning av paradoxen. Med det inlägget lyckades jag uppmärksamma vännen och kollegan Johan Wästlund på Scott Aaronsons förslag till lösning, samt trigga honom att fundera vidare kring problemet; jag betraktar detta som inläggets överlägset viktigaste konsekvens så här långt (och vem vet, kanske det rentav visar sig vara det viktigaste inflytande min blogg haft överhuvudtaget... den som lever får se). För var och en som intresserar sig för Newcombs paradox och de filosofiska frågor denna ansluter till vill jag varmt rekommendera läsning av Johans nedteckning av sina funderingar, och nu syftar jag inte på hans initiala reaktion (som visserligen är väldigt rolig, men som istället för att på allvar ta sig an paradoxen snabbt spinner iväg i en diskussion om grammatik och genus), utan på hans andra bloggpost i ämnet, där han fördjupar sig i paradoxen och kopplar den till idén om självmedvetna datorprogram och en kanske ännu svårare paradox som sådana datorprogram verkar ge upphov till, via en variant av Turings halting problem. Jag kan här omöjligt göra rättvisa åt Johans bloggpost, men jag kan i alla fall klippa ut några små smakprov. Här är hans egen telegrafiska sammanfattning av vad bloggposten går ut på:
    In this post I argue that the Newcomb experiment is not only feasible, but might very well be significant to the design of intelligent autonomous robots [...]. Finally, as requested by some readers of my previous post, I will reveal my own Newcombian orientation.
(Orden "some readers" syftar här, om jag förstått saken rätt, åtminstone delvis på mig.)

Beträffande Aaronsons förslag till hur Newcombs paradox kan lösas upp, kallar Johan detta "a very neat argument", men hans djupdykning i begreppet kausalitet leder honom till att avvisa förslaget:
    Although I like this argument, I don't think it holds.
Jag hoppar här över den argumentation som leder Johan till denna ståndpunkt (men se hans bloggpost!), och nöjer mig med att konstatera att den är såpass bestickande att jag eventuellt tvingas ändra ståndpunkt igen rörande Newcombs paradox; jag har inte bestämt mig ännu. Istället vill jag citera hans sammanfattning av den patologiska situation för intelligenta och självmedvetna datorprogram som han kommer fram till - i hopp om att trigga läsaren att ta del av hur han når dessa slutsatser:
    The strange moral here is that once the program becomes aware of its own correctness (the fact that it never concludes that a program is safe if it isn't), it becomes incorrect! Also notice that we have no reason to think that the AI would be unable to follow this argument. It is not only aware of its own correctness, but also aware of the fact that if it thinks it is correct, it isn't. So an equally conceivable scenario is that it ends up in complete doubt of its abilities, and answers that it can't know anything.

    The Newcomb problem seems to be just one of several ways in which a self-aware computer program can end up in a logical meltdown. Faced with the two boxes, it knows that taking both gives more than taking one, and at the same time that taking one box gives $1,000,000 and taking both gives $1000.

    It might even end up taking none of the boxes: It shouldn't take the small one because that bungles a million dollars. And taking only the large one will give you a thousand dollars less than taking both, which gives you $1000. Ergo, there is no way of getting any money!?

    The last paragraph illustrates the danger with erroneous conclusions. They diffuse through the system. You can't have a little contradiction in an AI capable of reasoning. If you believe that 0=1, you will also believe that you are the pope (how many popes are identical to you?).

måndag 13 juli 2015

Om biltrafik - några aktuella röster

Trafikfrågor engagerar. Följande är några synpunkter rörande biltrafik, och bilisters förhållande till cyklister och till hastighetsbegränsningar, som jag snappat upp de senaste veckorna.
  • Bilistlobbyisten Ulf Perbo hävdade nyligen i SVT Debatt att "i Sverige finns ingen konflikt mellan bil och cykel". Så kan bara en djupt inskränkt person som sitter skyddad bakom plåt och airbags uttrycka sig. Visst finns det en konflikt mellan bilister och cyklister om det begränsade väg- och gaturymmet (och det är, med mycket få undantag, bilisterna som roffar åt sig det mesta av utrymmet). Jag behöver inte gå längre än till mig själv för att konflikten skall bli uppenbar: jag skulle mycket gärna hålla mig med cykel vid sommarstugan, men har avstått eftersom den hårda biltrafiken på den vägrenslösa Länsväg 171 gör cykling både outhärdligt och livsfarligt. Av detta märker Ulf Perbo såklart ingenting.

  • En person som däremot håller med mig om existensen av en konflikt mellan bilister och cyklister är den uppenbart skogstokiga bilisten och Aftonbladet-kolumnisten Malin Wollin. Häromveckan skrev hon att "det är så många cyklister och löpare på vägarna att jag får hamster­hjärta. Och hälften av gångerna kan jag inte bestämma mig för om jag ska hålla ut eller försöka pricka dem med min kofångare". Jag tar för givet att Transportstyrelsen noterat hennes text och dragit in hennes körkort.

  • "Högre fart räddar liv" utropar en rubrik i Teknikens Värld, och skribenten Mattias Rabe pläderar för höjda fartgränser på våra vägar. Det hela är så ogrundat och fåraktigt att man tar sig för pannan. Min gode vän och kollega Johan Wästlund har tittat närmare på argumentationen, och ser sig föranledd att citera vad en av Sven Stolpes medtrafikanter lär skall ha sagt på en smal bro i Värmland för många år sedan: "Det är väl för fan den som möter som skall väja!"

  • Med hastighetsbegränsningar följer ett par andra gissel i trafiken: fartkontroller och fortkörningsböter. Men nu kan en ljusning skönjas i allt detta elände. I våra grannländer Danmark och Norge sprids nu en lika enkel som genial metod för att undvika just fortkörningsböter. Slik unngår du fartsbot.

tisdag 24 februari 2015

Bifall för Häggström hävdar

En starkt bidragande orsak till att jag fortsätter blogga är de positiva signaler jag då och då får från folk som tycker att bloggen är något att ha. Jag skall inte trötta ut läsekretsen med någon uttömmande lista, men låt mig i alla fall citera det kanske allra finaste beröm jag fått för bloggen, vilket levererades för ett år sedan, i en kommentar från vännen och matematikerkollegan Johan Wästlund:
    Avslutningsvis kan jag konstatera att den som i sina grubblerier över existensens natur slår på datorn och konsulterar Häggström Hävdar, knappast riskerar att drabbas av samma öde som stackars Descartes i Saturday Morning Breakfast Cereal.
(Missa inte att klicka på länken till Saturday Morning Breakfast Cereal!)

Ett särskild slags positiv signal om bloggen är då någon anser att dess innehåll är tillräckligt intressant för att förtjäna att länkas till. Låt mig ge två exempel på sådana inlänkar som jag sätter särskilt värde på:

torsdag 18 september 2014

Superintelligence odds and ends V: What is an important research accomplishment?

My review of Nick Bostrom's important book Superintelligence: Paths, Dangers, Strategies appeared first in Axess 6/2014, and then, in English translation, in a blog post here on September 10. The present blog post is the last in a series of five in which I offer various additional comments on the book (here is an index page for the series).

*

The following two-sentence paragraph, which opens Chapter 15 of Superintelligence, is likely to anger many of my mathematician colleagues.
    A colleague of mine likes to point out that a Fields Medal (the highest honor in mathematics) indicates two things about the recipient: that he was capable of accomplishing something important, and that he didn't. Though harsh, the remark hints at a truth.

At this point, I urge the angry mathematicians reading this not to stop reading, and not to conclude that Bostrom is a jackass and/or a moron unworthy of further attention. There is more to his "harsh" position than first meets the eye. And less, because to those of us who continue reading, it quickly becomes clear that he is not saying that the mathematical results discovered by some or all Fields Medalists are unimportant. Instead, he has two interesting and original points to make about research in mathematics (and in other disciplines), one general, and one more concrete. The general point is that the value of the discovery of a result is not equal to the value of the result itself, but rather the value of how much earlier we, as a consequence of the discovery, learned the result compared to what would have been the case without that particular discovery.1 The more concrete point is that even if deep and ground-breaking results in pure mathematics are valuable in themselves (as opposed to whatever scientific or engineering applications may eventually grow out of them), then there may be a vastly more efficient way to advance mathematics (compared to what the typical Fields Medalist engages in), namely to contribute to the development of AI or of transhumanistic technologies for enhancement of human cognitive capacities, in order for the next generation of mathematicians (made of flesh-and-blood or of silicon) to be in a vastly better position to make even deeper and even more ground-breaking discoveries. Here's how Bostrom explains his position:
    Think of a "discovery" as an act that moves the arrival of information from a later point in time to an earlier time. The discovery's value does not equal the value of the information discovered but rather the value of having the information available earlier than it otherwise would have been. A scientist or a mathematician may show great skill by being the first to find a solution that has eluded many others; yet if the problem would soon have been solved anyway, then the work probably has not much benefited the world. There are cases in which having a solution even slightly sooner is immensely valuable, but this is more plausible when the solution is immediately put to use, either by being deployed for some practical end or serving as the foundation to further theoretical work. And in the latter case [...] there is great value in obtaining the solution slightly sooner only if the further work it enables is itself both important and urgent.

    The question, then, is [...] whether it was important that the medalist enabled the publication of the result to occur at an earlier date. The value of this temporal transport should be compared to the value that a world-class mathematical mind could have generated by working on something else. At least in some cases, the Fields Medal might indicate a life spent solving the wrong problem - perhaps a problem whose allure consisted primarily in being famously difficult to solve.

    Similar barbs could be directed at other fields, such as academic philosophy. Philosophy covers some problems that are relevant to existential risk mitigation - we encountered several in this book. Yet there are also subfields within philosophy that have no apparent link to existential risk or indeed any practical concern. As with pure mathematics, some of the problems that philosophy studies might be regarded as intrinsically important, in the sense that humans have reason to care about them independently of any practical application. The fundamental nature of reality, for instance, might be worth knowing about, for its own sake. The world would arguably be less glorious if nobody studied metaphysics, cosmology, or string theory. However, the dawning prospect of an intelligence explosion shines a new light on this ancient quest for wisdom.

    The outlook now suggests that philosophic progress can be maximized via an indirect path rather than by immediate philosophizing. One of the many tasks on which superintelligence (or even just moderately enhanced human intelligence) would outperform the current cast of thinkers is in answering fundamental questions in science and philosophy. This reflection suggests a strategy of deferred gratification. We could postpone work on some of the eternal questions for a little while, delegating that task to our hopefully more competent successors - in order to focus our own attention on a more pressing challenge: increasing the chance that we will actually have competent successors. This would be high-impact philosophy and high-impact mathematics.

If this is not enough to calm down those readers feeling anger on behalf of mathematics and mathematicians, Bostrom furthermore offers the following conciliatory footnote:
    I am not suggesting that nobody should work on pure mathematics or philosophy. I am also not suggesting that these endeavors are especially wasteful compared to all the other dissipations of academia or society at large. It is probably very good that some people can devote themselves to the life of the mind and follow their intellectual curiosity wherever it leads, independent of any thought of utility or impact. The suggestion is that at the margin, some of the best minds might, upon realizing that their cognitive performance may become obsolete in the forseeable future, want to shift their attention to those theoretical problems for which it makes a difference whether we get the solution a little sooner.
The view of research priorities and the value of mathematical, philosophical and scientific progress that Bostrom offers in the above passages may seem provocative at first, but on second reflection it strikes me as wise and balanced. Are there any aspects of this issue he has failed to take into account? Of course there are, but the question should be whether there are any such aspects that are sufficiently relevant to overthrow his conclusion. Here's the best one I can come up with for the moment:

Perhaps the main value of a mathematical discovery lies not in the result itself, but in the process leading up to the discovery, and perhaps it is important that the cognitive work is done by an ordinary human tather than an enhanced human or some super-AI. Well, a bit of enhancement is OK - many years of education, plus some caffeine - but anything much beyond that reduces the value of the discovery significantly.

Something along those lines. But, honestly, doesn't it sound arbitrary, artificial, and more than a little anthropochauvinistic? It is certainly not an argument with which the mathematical community can hope to convince tax payers to support research in mathematics. Perhaps some similar argument might work for music or for literature, as the audience might have a preference for songs or novels they know are written by ordinary humans rather than by some superintelligence.2 But the case is very different for mathematics, because the population of people who can appreciate and enjoy, say, Wiles' proof of Fermat's Last Theorem or Perelman's proof of the Poincaré conjecture, is very small and consists almost exclusively of professional mathematicians. So using the argument for mathematics comes very close to asking taxpayers to support mathematical research because it is enjoyable to mathematicians.

The process-more-important-then-result objection fails to convince. All in all, I think that Bostrom's new perspective on the value of research findings, although of course not the only valid viewpoint, is very much worth putting on the table when discussing priorities regarding which research areas to fund.3

Footnotes

1) This notion of the value of a discovery is not entirely unproblematic, however. Consider the case of my friends Svante Linusson and Johan Wästlund, and their their solution to the famous problem of proving Parisi's conjecture. On the very same day that they announced their result, another group, consisting of Chandra Nair, Balaji Prabhakar and Mayank Sharma, announced that they had achieved the same thing (using a different approach). For the sake of the argument, let us make the following simplifying assumptions:
    (a) the two works and their timings were independent (almost true),

    (b) there is no extra value in having the two different proofs of the result compared to having just one (plain false),

    (c) without the two works, it would have taken another ten years for the scientific community to come up with a proof of Parisi's conjecture (pure speculation on my part).

With these assumptions, Bostrom's way of attaching value to research discoveries has some strange consequences. The work of Linusson and Wästlund is deemed worthless (because in view of the Nair-Prabhakar-Sharma paper, they did not accelerate the proof of Parisi's conjecture). Similarly and symmetrically, the Nair-Prabhakar-Sharma paper is deemed worthless. Yet, Bostrom has to accept that the two papers, taken together, are valuable, because they gave us proof of Parisi's conjecture ten years earlier than what would have been the case without them.

Such superadditivity of values is not unusual. A hot dog on its own may be worthless to me, and the same may go for a bun, but together they constitute a highly delicious and valuable meal. But the Linusson-Wästlund and the Nair-Prabhakar-Sharma papers, exhibiting the same superadditivity, still does not fit the hot-dog-and-bun pattern, because unlike the hot dog and the bun, each of the papers contains, on its own, the whole thing we value (the early arrival of the proof of Parisi's conjecture). Strange.

2) And chess. As a chess amateur, I enjoy studying the games of world champions and other grandmasters. For more than a decade, there have been computer programs that play clearly better chess than the very best human chess players. And yet, I do not find even remotely the same thrill in studying games between these programs, compared to those played between humans.

3) It will be interesting to see how this statement will be received by my friends and colleagues in the mathematics community. My hope and my belief is that the position I'm endorsing will be appreciated for its nuances and recognized as a point of view that merits discussion. But I am not certain about this. If worst comes to worst, my statement will be widely condemned and perhaps even mark the end of a 15-or-so years period during which I have received a steady stream of invitations and requests to take on various positions of trust in which I am expected to defend the interests of research mathematics. I would not welcome such a scenario, but I much prefer it to one in which I refrain from speaking openly on important issues.

tisdag 29 juli 2014

Blandade länkar

Istället för en fokuserad bloggpost om ett väl avgränsat ämne bjuder jag idag, utan någon sådan avgränsning, på en uppsättning länkar till texter och webbsidor jag de senaste dagarna funnit särskilt läsvärda - varsågoda!
  • Folke Tersman: Politiker kan lära av forskares dialog, Sans 3/2014.

    Här artikulerar Uppsalafilosofen Folke Tersman knivskarpt den lite vagare oro jag själv känt inför de slentrianmässiga fördömanden av och drev mot sverigedemokratiska positioner som vi lite finare, mer akademiskt bildade och politiskt korrekta personer gärna ägnar oss åt. Obligatorisk läsning för den som avser fortsätta delta i sådana drev!

  • Johan Wästlund: Är blattar bättre än svennar på yatzy? Statistikexperiment för sverigedemokrater och andra.

    Johan Wästlund har figurerat flitigt här på bloggen, men har också en egen blogg, som passande nog bär namnet Johan Wästlund. Hans senaste bloggpost utgör ett förträffligt exempel på det slags saklighet i debatten som Folke Tersman efterlyser, och han slår elegant två flugor i en smäll genom att vederlägga ett stycke främlingsfientlig propaganda samtidigt som han pedagogiskt förklarar ett förrädiskt statistiskt fenomen som är bra att känna till.

  • Sam Harris: Why Don’t I Criticize Israel?

    Jag finner alltid Sam Harris skriverier intressanta, och ofta provocerande. Så även denna gång. Jag håller absolut inte med om allt han skriver i sin färska text om Mellanösternkonflikten,1 men den är synnerligen intressant och bjuder på en del klargörande tankar i denna infekterade fråga.

  • Vladimir Sorokin: Russia is Pregnant with Ukraine, New York Review of Books blog, 24 juli 2014.

    Att Rysslands president Vladimir Putin är en kriminell j-a bandit och ett allvarligt hot mot världsfreden har jag framhållit tidigare här på bloggen. Vad som ändå skänker hopp om dagens Ryssland är existensen av en välartikulerad och modig opposition. Hit hör Pussy Riot, och hit hör i allra högsta grad författaren Vladimir Sorokin. Den aktuella text av honom jag här länkar till hör (liksom hans tidigare essä Let the Past Collapse on Time) till det bästa jag läst om Ukrainakrisen.

  • Robin Hanson: I Still Don't Get Foom.

    Den som väntar på min recension av Nick Bostroms nya bok Superintelligence kommer (som tidigare meddelats) att få vänta i ännu en månad eller två, tills den först publicerats i Axess. Bland de övriga recensioner och kommentarer om boken jag hittills sett är Robin Hansons den intressantaste. Hanson är skeptisk till om det som Bostrom kallar "fast takeoff", och som på en del andra håll benämns Singulariteten, verkligen kan inträffa. Hans lyckas inte helt övertyga mig med sin argumentation, vilken är i linje med vad han tidigare framfört i The Hanson-Yudkowsky AI Foom Debate, men den är likväl helt klart beaktansvärd.

  • Anders Sandberg: The five biggest threats to human existence, The Conversation, 29 maj 2014.

    När Nick Bostroms Oxfordkollega och nära samarbetspartner Anders Sandberg rankar de fem största hoten mot mänsklighetens fortsatta existens så hamnar den av Bostrom avhandlade superintelligensen först på tredje plats. Skynda att ta del av vilka de övriga fyra är, innan det är för sent!

  • Emma Frans: Emmas selektion.

    Emma Frans är ofta först bland svenskspråkiga skribenter med spännande nyheter om beteendevetenskap och annan forksning, och om någon vill utnämna Emmas selektion till Sveriges bästa vetenskapsblogg just nu så har jag inget att invända (men hoppas givetvis på att någon gång själv lyckas erövra titeln). Den välavvägt kaxiga tonen på bloggen markeras av den snygga bannern:

  • Maeve Shearlaw: Dropping in on Turkmenistan's 'door to hell', The Guradian, 18 juli 2014.

    En av de bisarraste platserna på jorden torde vara det 69 meter breda och 30 meter djupa brinnande hål som finns långt ute i öknen i norra Turkmenistan, och som benämns "Door to Hell". Elden har brunnit i 40 år, och Shearlaws bildreportage väcker spontant två frågor hos mig: Varför fyller de inte igen hålet? Och nog är George Kourounis besök nere i hålet det närmaste vi i verkligheten kommit Mr Spocks äventyr inne i en vulkan i senaste Star Trek-filmen?

Fotnot

1) Min största invändning rör Harris lättvindiga avfärdande av den ständiga disproportionaliteten mellan antalet döda palestinier och dito israeler. Denna beror på många faktorer. Det duger inte att att, som Harris gör, peka ut en enda - Israels större skicklighet i med skyddsrum etc skydda sin civilbefolkning - och sedan hävda att just denna aspekt av Israels agerande är moraliskt oantastlig, varför Israel inte har någon moralisk skuld för disproportionaliteten. Disproportionaliteten kommer sig lika mycket av de många dödade palestinierna som av de få dödade israelerna. När vi skall bedöma Israels moraliska agerande är det i första hand det förstnämnda vi bör beakta, och i denna bedömning bör vi enligt min mening tillämpa principen om att när civila dödas så har den som håller i vapnet ett fullt ansvar, med vilket jag menar ett ansvar som inte späds ut oavsett vilka omoraliska handlingar (såsom bruk av mänskliga sköldar) som motparten gjort sig skyldig till.

(Och på tal om disproportionalitet så tycker jag att det är i minsta laget att i en 3000-ordsuppsats över detta ämne ägna blott 9 ord åt bosättningar på ockuperad mark.)

tisdag 22 juli 2014

Teckningstävlingen avgjord

Den teckningstävling jag utlyste för ett par veckor sedan, på temat det mänskliga nervsystemets eventuella olämplighet för filosofiskt arbete, har nu avgjorts. Bland de många förtjänstfulla bidragen kunde juryn (det vill säga jag) till slut sålla fram tre som stod i särklass, nämligen dem av My Aulin (9 år - dock kan hon om jag inte misstar mig ha hunnit fylla 10 efter att hennes bidrag skickades in), Johan Wästlund (43 år) och Ludvig Bohlin (troligen mellan 20 och 30 år). En ensam segrare behöver dock koras, och efter visst ytterligare huvudbry har juryn beslutat sig för att tilldela My förstapriset för följande teckning, som med föredömlig klarhet visar en filosof som kämpar och sliter med till synes oöverstigliga frågeställningar om livet och döden, alltmedan en kognitivt mer välutrustad utomjording utan ansträngning får fram det rätta svaret, vilket hen i flygbladsform glatt sprider omkring sig.

Johan förtjänar ett hedersomnämnande för följande bidrag, där han är inne på samma svar som My. I ett följebrev skriver Johan att han "har träffat några som kanske hade kunnat svara på de yttersta frågorna, men tyvärr var bifogade screenshot det sista jag fick se av dem" och att han "hoppas de har det bra", och kryddar på så vis anrättningen med ett stycke hisnande Platonsk-Egansk-Tegmarksk-Wästlundsk metafysik.

Ett hedersomnämnande får även Ludvig, för följande träffsäkra perspektivisering.

Såväl segrarinnan My som de båda tappert kämpande herrarna Johan och Ludvig har det utlovade priset - ett exemplar av Nick Bostroms nya bok Superintelligence - att vänta. Om My vill får hon dock lov att byta Superintelligence mot den eventuellt något mer åldersadekvata boken Kan en robot tänka av Peter Ekberg och Anders Nyberg.

måndag 3 mars 2014

Parallella universa enligt Tegmark

Teorier om parallella universa handlar om att vårt synliga universum inte är allt som finns. Vårt universum är kanske blott ett bland många i ett väldigt mycket större multiversum. Det finns multiversumteorier av många olika slag, och den svenskfödde MIT-kosmologen Max Tegmark delar i sin aktuella bok Our Mathematical Universe in dem i fyra nivåer. Nivå I går ut på att det fysiska rummet och förekomsten av materia sträcker långt bortom det synliga universum. I Nivå II är rummet separerat på ett sådant sätt att de fundamentala naturkonstanterna antar olika värden i olika delar (något som i kombination med så kallade observationsselektionseffekter kan tänkas besvara det notoriska finjusteringsproblemet). Nivå III är Hugh Everetts många världar-tolkning av kvantmekaniken. Dessa tre nivåer av multiversumteorier har vunnit relativt stor spridning och acceptans (om än långt ifrån någon konsensus) bland kosmologer och fysiker. Annat är det med Nivå IV, som är Tegmarks egen teori om ett matematiskt baserat multiversum, där varje matematisk struktur existerar som ett eget universum parallellt med alla andra. I sitt förfäktande av denna teori, som likställer fysisk existens med matematisk, stöter han på rejält motstånd från sina forskarkollegor. Två uppmärksammade reaktioner på Our Mathematical Universe exemplifierar detta - en bloggpost av Peter Woit och en recension i New York Times av Edward Frenkel. Båda är starkt kritiska, och Woit går klart över gränsen till det nedlåtande.1 Det som retar upp både Woit och Frenkel är att Tegmark går så långt i sina spekulationer att han enligt deras mening hamnar utanför vad som kan kallas naturvetenskap. Istället hamnar han i något som snarare är att betrakta som filosofi, vilket (om jag nu får tillåta mig att tolka Woit och Frenkel en smula fritt) tydligen är dåligt.

Själv är jag mycket positiv till Tegmarks bok.2 Jag håller med Woit och Frenkel om att han går långt i sina spekulationer - så långt att han nog får anses ha överträtt gränsen mellan naturvetenskap och filosofi. Jag anser dock inte att det nödvändigtvis ligger något fel i detta, så länge man är tydlig över vad som är vad. Tegmark är föredömligt tydlig med vad som är mainstreamvetenskap (som hans utförliga och mycket intressanta redogörelse för den moderna kosmologins framväxt och var den står idag), vad som är något mindre etablerat, och vad som är hans egna tämligen sjövilda spekulationer. Och jag anser att frågan om universums (eller multiversums) fundamentala beskaffenhet är intressant och viktig, och finner det troligt att vi inte kan hitta fram till sanningen om detta med mindre än att en och annan forskare på Tegmarks vis tar sig friheten att söka sig långt utanför den etablerade boxen. Jag finner det en smula inskränkt att kräva att de spekulationer dessa pionjärer därvid levererar redan från början uppfyller alla gängse vetenskaplighetskrav om poppersk falsifierbarhet och liknande (Tegmark argumeterar för sina Nivå IV-teoriers falsifierbarhet, men övertygar inte riktigt på denna punkt). Sådant kan (förhoppningsvis) mejslas fram över tid.

Tegmarks idé om att varje matematisk struktur också har en fysisk existens i form av ett parallellt universum är inte alldeles lätt att ta till sig, och jag kan inte påstå att jag tillräckligt väl begriper vad den innebär för att jag skall kunna svara på om jag tror på den eller inte. Jag vill dock berätta om hur jag för någon månad sedan, under några nästan euforiska ögonblick, fick en stark förnimmelse av att idén är både begriplig och sann, snudd på självklar. Jag åt lunch med min snillrike ( och här på bloggen välkände) Chalmerskollega Johan Wästlund, och följande samtal utspelade sig. Min aha-upplevelse grundade sig troligen inte bara i själva samtalet, utan också i att jag hade i sammanhanget precis rätt uppsättning förkunskaper och förutfattade meningar. Därför är det troligt att flertalet läsare inte kommer att dela min aha-känsla, men inför möjligheten att en och annan faktiskt kanske gör det vill jag ändå återge samtalet:3
    JW: Du vet där där besvärliga frågan om varför det finns någonting, istället för ingenting...?

    OH: Ja...?

    JW: Tänk dig situationen att ingenting finns, inte ens vakuum, inte ens tid och rum.

    OH: Jag känner alltid ett visst obehag, lite som att befinna sig i fritt fall, inför den tanken. Men OK, jag tänker mig att ingenting finns.

    JW: Bra. Är det i den situationen ändå sant att det finns oändligt många primtal?

    OH: Hmm... jag brukar ju tänka mig att matematiska sanningar är oberoende av vad som existerar fysiskt, men den situation du beskriver är så extrem att jag blir lite osäker.

    JW: Men vi vet ju båda att det finns oändligt många primtal, och att detta faktum knappast kan bero på hur vårt fysiska universum är beskaffat. Säg ja!

    OH: OK... ja.

    JW: Bra. Men om vi accepterar att primtalen existerar även i ett totalt tomt universum, då måste väl rimligtvis detsamma gälla även för Conway's Game of Life, med alla dess gliders, kanoner och självreproducerande strukturer?

    OH: Javisst, självklart! Det vore ju helt orimligt att dra en gräns någonstans mellan primtalen och Game of Life för vad som existerar.

    JW: Bra. Men om Conway's Game of Life existerar, då måste väl av samma skäl även vi existera?

    OH: Hm... ja! Visst är det så! Naturligtvis är det så!

Fotnoter

1) Som trogna läsare av denna blogg säkert anat så tycker jag inte att det är fel att ta till en lätt nedlåtande ton när man tycker att något är riktigt riktigt dåligt. Men jag blir lite förbryllad när jag jämför Woits bloggpost med hans recension i Wall Street Journal, där tonläget är närmast respektfullt. Det är uppenbart att Woit brister i uppriktighet i minst en av dessa texter.

2) Så positiv är jag att jag med varm entusiasm är beredd att rekommendera boken för t.ex. en ung student som går och grubblar över om en forskarkarriär är rätt sak för henne att satsa på. Tegmarks har en smittande hänförelse för vetenskapen, boken är lättläst, och han väver in självbiografiska små episoder som ger framställningen extra liv (men som i hans ogenerösa meningsmotståndares ögon tycks framstå som ännu ett irritationsmonent).

3) Jag citerar fritt ur minnet. Johan är välkommen att korrigera mig om han finner att jag avvikit på något väsentligt vis från vad som faktiskt sades.

tisdag 26 november 2013

Guest post by Johan Wästlund: A remarkable pawn promotion

That chess is simultaneously art, science and sport is an oft-repeated claim with a great deal of truth in it. In my two recent blog posts about the recent world championship match in which the young Norwegian chess genius Magnus Carlsen defeated reigning champion Viswanathan Anand, I emphasized the sports aspect of chess. To make up for this one-sidedness, I am happy to publish the following guest post, in which my friend and colleague Johan Wästlund (known to regular readers of this blog from the posts Back to basics and Om schack och matematik) demonstrates some more artistic aspects of the game.

I am sure most readers know that the rules of chess allows a player whose pawn reaches the eighth and final rank to promote the pawn to a queen. What perhaps not all of you know is that the player may alternatively choose to promote the pawn to one of the lesser pieces: rook, bishop or knight. Doing so may sound silly, because the queen is known as the strongest piece, and indeed such minor promotions occur only rarely in tournament chess, but there are exceptional situations where they make good sense. Please enjoy Johan's exploration of some of these cases! /OH

* * *

A remarkable pawn promotion

The evening's first batch of coffee was almost ready, and in the thirsty crowd, T had found a victim. After a course for aspiring tournament referees, he now knew everything about "insufficient material". B, who felt he knew how the pieces move, found himself listening to a lecture about the rules of chess.

"So you mean", said B with a slightly disturbed but still amused voice, "that if my flag falls in an ending King + Bishop versus King + Bishop, then with bishops of the same color the game is drawn, but with opposite colors, I lose?"

"That's right, same color is insufficient material, you can't construct a sequence of legal moves leading to checkmate."

"But with opposite colored bishops, I could in theory put my king in a corner of the color of my opponent's bishop, and block one of the flight squares with mine. Like this." He quickly set up the following position on one of the analysis boards:

"Because of that possibility, if my flag falls I have lost the game. That's ridiculous!" T went on with the other endings of one piece each, knight against knight, bishop or rook, bishop against rook (where it turns out the bishop can't win).

"You also lose with a pawn against a piece", he continued, unable to conceal his excitement.

"Aha, because I could promote to a knight or maybe a bishop, and then corner my king. That's the silliest use of under-promotion I've ever heard of!"

The moment he pronounced the word "under-promotion", the problemist G entered the discussion. G's favorite topic was helpmates, but under-promotion would do.

"In fact there are only two possible motives for promotion to bishop or rook", he explained, "at least if one excludes things like ridiculing one's opponent. One is offensive, to avoid stalemating the opponent in a winning position. The other is defensive, to draw by getting stalemated. You see, except when it comes to stalemate, a queen will be at least as good as a rook or a bishop." He showed them a rare example of a serious under-promotion, the famous game Bremel - Kertis, Budapest 1948:

"In this position, White won with 1. a8R+! Kb4, 2. Rb8+ Kc3 3. Rxb1. If the rook had been a queen, Black would have been stalemated at this point."

"The defensive motive, getting oneself stalemeted, is even more exotic. It's been demonstrated numerous times in problems and studies, like this one by Traxler and Dedrle from 1909:"

"White draws with 1. Ra2+ Kxa2 2. Bxf7+ Qxf7 3. g8B! Rxf8 stalemate. But the defensive under-promotion is a unicorn of chess. Easy to imagine, yet nobody has seen a real one! Amazing, isn't it? Not a single defensive under-promotion is known from the millions of recorded games of chess history."

"The most spectacular demonstrations of under-promotion are the realizations of the so-called Babson theme..."

And here he was interrupted by P, who reminded everyone that it was six o'clock and the games were about to start. It turned out that B was playing white against T. Their game became the longest of the evening, and when it was about to be decided, a small crowd had gathered in silence around the table. Black would clearly queen first, but his other race, that agianst the clock, was less certain.

In this position the game continued 61. b6 c1Q 62. b7 Qc5+ 63. Ka8 Qc6 64. a7. T now realized he would have had mate in two with 64. - Qh1 65. Kb8 Qh8 if not the stupid bishop had blocked the eighth rank. So he decided to get it out of the way. 64. - Be7 65. Kb8. With time running out, T had already forgotten his plan and was thinking about 65. - Bd6+, but didn't see how to continue after 66. Ka8. So instead the game went 65. - Qc7+ 66. Ka8. A few minutes later in the calm of the analysis room, he would realize not only that the back-rank mate had still been possible with 65. - Qd6+ 66. Ka8 Qd5 and 67. - Qg8, but also that after 65. - Bd6+ 66. Ka8 Qa6 67. b8Q+ Bxb8, the idea that White gets yet another queen is an illusion.

With only seconds left for the entire game, T was jumping up and down in his chair. How could it be so difficult to finish the opponent off with queen and bishop against a couple of silly pawns? He finally sighed and realized he might have to settle for a draw. With a helpless look on his face, he took a last glance at the clock, 3, 2, 1 second left. And played 66. - Qc8+.

Only at this point did B realize he might actually promote one of his pawns. With his last move, Black was clearly offering a draw, but the gentleman he was, B would still not miss an opportunity of a little prank. He reached out for the white queen, but with his eyes still focused on the board, accidentally pushed her over the edge of the table. She bounced through the little crowd and disappeared under a chair.

Never mind. For the desired effect, the move would have to be played instantly. B put one of his rooks upside down on b8, removed his b-pawn, and pressed the clock. With his hands flying nervously all over the board, T knocked his own king over, picked it up and managed to put it on d8, but the clock was already flashing with a row of zeros on Black's side.

"I seem to have lost on time", he confessed, but all of a sudden recalled what he had learnt in the weekend.

"No, wait, it's a draw because of insufficient material!"

The following conversation was a bit confused. Some spectator argued that a rook upside down is a generally accepted substitute for a queen, while another pointed out that even a rook is sufficient material. Meanwhile, T tried to explain that since no sequence of legal moves can lead from the current position to one where the black king is checkmated, the game is drawn even though Black's flag has fallen.

They were interrupted by G, the problemist. "I'll be darned! Gentlemen..."

As he spoke, he swiftly turned the rook on b8 back to its normal orientation and, as the club's chairperson S had joined the group, continued:

"...and ladies, this moment goes to history. For centuries, problemists and study composers have thought that the only motives for promotion to rook or bishop are forcing or avoiding stalemate. But tonight our friend B has demonstrated, with his extraordinary 66:th move, that there is another motive: retaining sufficient material."

"In the final position, with White to move after Black overstepping time, White has sufficient material because on the forced continuation 67. Rxc8+, Black has the legal move 67. - Kd7 after which he can in principle be checkmated. Had the rook on b8 been a queen, the only legal continuation would have been 67. Qxc8+ Kxc8 stalemate, and therefore 66. - Kd8 would have ended the game. The manoeuver Be7 - Kd8 was brilliant too, and would have saved the game against..."

"I don't quite follow", said B, eager to get some coffee and gossip about the other games of the evening, "but in any case the position is dead drawn, everyone can see that."

With those words he shook T's hand, signed the protocol saying 1/2-1/2, and went to the analysis room, unaware of his unique contribution to chess history.

Epilogue

As the problemist G realized later that evening, there is yet another motive for under-promotion, that of forcing insufficient material. A while later, he published a strange little chess problem, clearly inspired by that evening's events:

The task was unusual: Draw in 1 move.

Acknowledgments

This story was inspired by the wonderful people and events that happened or might have happened at the chess club LASS, Linköping, around ten years ago. While there is no clear correspondence between characters and real people, similarities might not be entirely accidental. Another source of inspiration was a blog post of Bo Sjögren (another former LASS player). Many other examples of under-promotion can be found among the wonderful Chess Curiosities of Tim Krabbé.

lördag 19 maj 2012

Om schack och matematik

En klassisk fråga om schack är huruvida det bör räknas som sport, konst eller vetenskap. Det kan väl för all del ha element av samtliga, men för mig, som spelat schack på tävlingsnivå i tre decennier, känns svaret ändå givet: schack är i första hand en sport. Det är tävlingsmomentet som mer än något annat gör spelet så nervkittlande, främst då man själv för pjäserna, men också vid ringside. Numera direktsänds varje drag som spelas av världseliten över Internet, till glädje för fans världen över. Den just nu pågående VM-matchen mellan regerande världsmästaren Viswanathan Anand och utmanaren Boris Gelfand är visserligen så här långt en besvikelse - samtliga sex avverkade partier har slutat remi efter föga upphetsande spel - men det finns andra spelare i världseliten som det slår desto mer gnistor om: exvärldsmästaren Vladimir Kramnik, det armeniske schackgeniet Levon Aronian, och framför allt det 21-årige stjärnskottet Magnus Carlsen från Norge som med sitt dynamiska spel lyckats besätta förstaplatsen på världsrankingen.

Därtill kan schacket, liksom fotbollen, glimta till av skönhet, på ett sätt som kan få en att börja tala om konst. Men precis som med fotbollen rör det sig om en ytterst begränsad konstform, och skönhetsvärdet förblir enligt min mening underordnat kampen.

Som vetenskap ligger schacket närmast matematiken. Ja, formellt sett kan det i själva verket ses som en del av matematiken, närmare bestämt som ett ytterst begränast specialfall av den gren av matematiken som benämns kombinatorisk spelteori.1 Visst kan man som schackentusiast fascineras av jakten på sanningen om en viss ställning och ägna timmar, dagar eller rentav veckor åt att söka svaret - men, likväl, som vetenskap betraktad är schackspelet enligt min mening blott en fattig och förkrympt kusin till matematikens centrala delar. Ett aldrig så vackert schackproblem har, om man jämför det med den högre matematiken, något trivialt och närmast sudokuaktigt över sig. G.H. Hardy uttrycker i sin berömda essä A Mathematician's Apology från 1940 (som jag också tidigare hänvisat till här på bloggen) saken på följande vis:
    A chess problem is genuine mathematics, but it is in some way ‘trivial’ mathematics. However ingenious and intricate, however original and surprising the moves, there is something essential lacking. Chess problems are unimportant. The best mathematics is serious as well as beautiful—‘important’ if you like, but the word is very ambiguous, and ‘serious’ expresses what I mean much better. [...] We may say, roughly, that a mathematical idea is ‘significant’ if it can be connected, in a natural and illuminating way, with a large complex of other mathematical ideas. Thus a serious mathematical theorem, a theorem which connects significant ideas, is likely to lead to important advance in mathematics itself and even in other sciences. No chess problem has ever affected the general development of scientific thought: Pythagoras, Newton, Einstein have in their times changed its whole direction.
Visst finns inslag av cirkelresonemang i detta argument - att naturvetenskapen är större och viktigare än schackspelet tas för givet, varför den som från början anser att det som händer på schackbrädet är viktigare än allt vid sidan om knappast låter sig övertygas - men det är OK, och återspeglar att frågor om vad som är viktigt respektive oviktigt är värderingsfrågor snarare än faktafrågor med objektivt riktiga svar.

Den som aldrig studerat den högre matematiken har knappast någon aning om vad detta "something essential" är som finns i matematiska satser men saknas i schackproblem. Och det är svårt att förklara. Det finns dock sätt att vidga schackets ramar för att ge en förnimmelse av hur verklig matematik på forskningsnivå kan te sig. Ett strålande exempel ges av min Chalmerskollega och samarbetspartner Johan Wästlund, som för ett år sedan ställde följande fråga:
    Is there a chess position with a finite number of pieces on the infinite chess board Z2 such that White to move has a forced win, but Black can stave off mate for at least n moves for every n?
Här finns flera element som är typiska för den högre matematiken: generaliseringen från ändlig domän (det vanliga 64-rutiga brädet) till oändlig, och fokuseringen på den generella frågeställningen om huruvida objekt - i detta fall pjäskonfigurationer - med vissa grundläggande egenskaper existerar, snarare än på en enskild konfiguration.

Jag skall erkänna att min första (och helt missriktade) reaktion då jag såg Johans frågeställning var något åt hållet "Va? Det var sannerligen inte likt Johan att ställa en så korkad fråga." Min felaktiga tankegång, alltför bunden av hur det fungerar i vanligt schack på ett ändligt bräde, var följande. Om Svart kan hålla ut obegränsat länge, så har han ett drag till hands som låter honom göra det (ty om varje drag blott garanterar ändlig livslängd så finns ett maximum av garanterade livslängder bland de tillgängliga dragen, vilket motsäger antagandet om att han kan hålla ut obegränsat länge). I och med det finns, oavsett vad Vit tar sig för, samma möjlighet för Svart att hålla schackmatt obsgränsat långt bort i framtiden även i nästa drag, och i nästa, och i nästa... i all oändlighet, så att Vit alltså inte alls kan forcera vinst.2

Om det alltid (som i vanligt schack) blott funnes ett ändligt antal drag för Svart att välja bland, så skulle mitt argument vara korrekt. Men på det oändliga brädet är situationen en annan. Om t.ex. Svart har ett torn som har helt fri sikt i någon riktning (framåt, säg), så finns oändligt många drag att välja mellan: tornet kan flyttas hur många steg framåt som helst. Och då skulle man kunna tänka sig en situation där om tornet går 1 steg framåt så kan Vit göra matt i 1 drag, om det går 2 steg framåt kan Vit göra matt i 2 drag, ..., om det går 74806 steg framåt kan Vit göra matt i 74806 drag, osv i all oändlighet. Vad Svart än gör kan Vit forcera matt, men det finns ingen på förhand given gräns för hur länge Svart kan hålla ut.

Min nästa reaktion, sedan jag begripit detta, var "OK, frågan är alltså icketrivial. Men det är väldigt långsökt att tänka sig att något sådant skulle kunna hända, så svaret borde väl ändå rimligtvis vara nej?" Döm om min häpnad då jag fick klart för mig att svaret tvärtom är ja! Ett par av Johans korrespondenter på Math Overflow visar detta genom att leverera explicita exempel på ställningar av det slag som jag i min naivitiet dömde ut som "långsökt". En titt på dessa lösningar rekommenderas! Jag tror att de läsare som delar mitt intresse för schack och/eller matematik kommer att instämma i att dessa exempel rentav besitter ett visst... skönhetsvärde.

Fotnot

1) Se gärna min uppsats Objective Truth versus Human Understanding in Mathematics and in Chess, publicerad 2007 i tidskriften med det charmerande namnet The Montana Mathematics Enthusiast, för andra synpunkter på förhållandet mellan schack och matematik.

2) Eller, med mer kortfattad matematikerjargong: Att svaret på Johans fråga måste vara nej följer av kompakthet.

torsdag 5 januari 2012

Back to basics

Min specialitet inom matematiken är sannolikhetsteori. Ibland säger jag lite skämtsamt att sannolikhetsteori handlar om slantsingling. Ett korn av sanning finns det i detta, då snart sagt allt vi sysslar med i sannolikhetsteorin byggs upp med slantsinglingarna som grund.1 För det mesta syns dock inte slantsinglingarna bakom de modeller vi studerar - Isingmodeller, diffusionsprocesser, interagerande partikelsystem och vad det vara må - lite grand på samma sätt som vi inte ser de enskilda atomer som bygger upp oss själva och världen omkring oss. Därför känner jag mig lite glad över att slantsinglingarna i min senaste matematiska uppsats Rigorous computer analysis of the Chow-Robbins game, författad tillsammans med Chalmerskollegan Johan Wästlund2, hamnar i omedelbart fokus. Back to basics!


I det så kallade Chow-Robbinsspelet singlar vi en slant upprepade gånger och får sluta när vi vill, utan någon begränsning på hur länge vi får hålla på. När vi slutar belönas vid med ett penningbelopp motsvarande den andel krona som erhölls, dvs antalet krona dividerat med antalet slantsinglingar. Om vi till exempel väljer att sluta efter sekvensen "klave, krona, klave, krona, krona", dvs efter tre krona av fem möjliga så att andelen krona blir 35, blir vår belöning 60 öre.

Vad är en optimal strategi för detta spel, om syftet är att erhålla så stor förväntad (dvs genomsnittlig) belöning som möjligt?

En första gissning skulle kunna vara att eftersom varje slantsingling ger krona eller klave med sannolikhet 12 vardera så spelar det ingen roll hur vi gör - och vi får i snitt 50 öre hur vi än beter oss. Detta stämmer emellertid inte. Här är en strategi som ger mer än 50 öre i snitt:

Singla slanten en första gång. Avsluta om du får krona. Om du får klave, singla slanten en gång till, och avsluta sedan.

Denna strategi ger utfallet "krona" med sannolikhet 12, och "klave, krona" respektive "klave, klave" med sannolikhet 14 vardera. Förväntad belöning blir därför 12×1 + 14×12 + 14×0 kr = 62,5 öre.

Strategin kan förbättras ytterligare. T.ex. är det ju så att vi efter "klave, klave" har en hel del att vinna men inget att förlora på att gå vidare. Den som kombinerar ett visst mått av klurighet med dito händighet i bråkräkning kan roa sig med att arbeta vidare och finna successivt bättre strategier.3

Chow-Robbinsspelet har funnits i litteraturen sedan 1964, men något slutgiltigt svar på frågan om optimal strategi har inte kunnat ges. Johans och mitt bidrag består i utarbetandet av en datormetod som i given situation ger svar (med matematisk visshet) på om man bör gå vidare eller inte. Så t.ex. vet vi att med 100 gjorda slantsinglingar så bör vi avbryta om vi har minst 54 krona, men fortsätta om vi har högst 53. Datorberäkningarna blir dock ganska omfattande, och det finns vissa gränsfall där vi inte förmått avgöra huruvida det är lönsamt att gå vidare; det första fall vi inte lyckats knäcka är då vi har 116 krona av 220 möjliga. Läsaren inbjudes härmed att försöka förbättra vår metod.

Fotnoter

1) För den matematiskt litterate: Antag att vi har en obegränsad följd av oberoende kast med ett symmetriskt mynt. Skriv upp siffran 1 då vi får krona, och siffran 0 då vi får klave. Den sifferföljd vi då får (t.ex. 0011110101001...) kan alternativt beskrivas som binärutvecklingen hos ett tal valt enligt likformig fördelning (Lebesguemåttet) på intervallet [0,1]. Med hjälp av decimalsaxning kan vi i själva verket få oändligt många sådana slumptal, och från vart och ett av dessa kan vi konstruera en stokastisk variabel med vilken som helst fördelning vi önskar, och härifån kan vi bygga vidare våra stokastiska modeller av godtycklig komplexitetsgrad.

2) Johan är en av matematikersveriges vassaste tänkare, känd bland annat för sitt i samarbete med Svante Linusson utarbetade bevis av Parisis förmodan och för sitt banbrytande arbete om det stokastiska handelsresandeproblemet.

3) Ett klurigt fall är det ovan nämnda där vi har tre krona av fem möjliga. Jag roade mig under en julkonsert med Bo Kaspers Orkester i förra månaden med att i huvudet bevisa att i det fallet är det lönsamt att fortsätta. En trevlig övning - dock räknar jag inte med att alla läsare kommer att instämma i min uppfattning att dylika huvudräkningar är en bra metod att förhöja en konsertupplevelse.