fredag 19 juli 2013

För geografi- och matematiknördar

Nörd definieras som en person som uppvisar entusiastiskt intresse för något annat än fotboll. Nördar kan kategoriseras med avseende på vad de intresserar sig för. Två vanliga exempel är geografinördar och matematiknördar. Jag själv råkar tillhöra båda kategorierna, och tycker mig i min omgivning har observerat att de samanfaller oftare än vad man kan vänta sig under ett antagande om nollkorrelation. Finns det då ett samband mellan geografi och matematik som kan förklara den positiva korrelation jag tycker mig kunna se? Jag lämnar den frågan öppen, för att här nöja mig med att presentera ett exempel på ett fenomen inom geografi och ett inom matematik, vilka på lämplig abstraktionsnivå kan förstås som relaterade.

1. Geografi

På den för geografinördar tilltalande webbisdan Some interesting Islands and Lakes kan vi ta del av följande upplysningar:
  • Världens största ö är Grönland.
  • Världens största sjö är Kaspiska havet.
  • Världens största sjö på en ö är Nettilling Lake på Baffin Island i Kanada.
  • Världens största ö i en sjö är Manitoulin Island i (den kanadensiska delen av) Lake Huron.
  • Världens största ö i en sjö på en ö är Pulau Samosir i Danau Toba på Sumatra i Indonesien.
  • Världens största sjö på en ö i en sjö är Lake Manitou på ovan nämnda Manitoulin Island i Lake Huron.
  • Världens största sjö på en ö i en sjö på en ö är Crater Lake på Vulcano Island i Lake Taal på Luzon i Filippinerna.
  • Världens största ö i en sjö på en ö i en sjö är ett namnlöst stycke land i Mindemoya Lake på Manitoulin Island i Lake Huron.
  • Världens största ö i en sjö på en ö i en sjö på en ö är Vulcan Point i ovan nämnda Crater Lake på Vulcano Island i Lake Taal på Luzon i Filippinerna.
Fascinerande! Det visar sig emellertid att den avslutande uppgiften om Vulcan Point inte stämmer, och att det finns en namnlös ö - 300 meter lång och 50 meter bred, men klart större än Vulcan Point - i en sjö på en ö i en sjö på Victoria Island i Kanada. Tiden får utvisa om denna rekordbok kräver ytterligare revidering, och om någon orkar gräva ned sig ytterligare något snäpp i hierarkin.

2. Matematik

Låt oss tänka oss ett bikakemönster av sexhörningar, och att detta mönster sträcker sig oändligt långt i alla riktningar i planet. Låt oss vidare tänka oss att varje sexhörning oberoende av varje annan färgas röd med sannolikhet p och vit med den återstående sannolikheten 1-p. Följande figur visar ett ändligt utsnitt av denna så kallade perkolationsprocess,1 i det symmetriska fallet med p=0,5.

Vi kan tänka oss att de röda sexhörningarna representerar land, medan de vita representerar vatten. Vilken struktur av öar och sjöar kommer att uppstå i en sådan perkolationsprocess? Svaret visar sig dramatiskt bero på p i anslutning till det som kallas det kritiska värdet, som för just detta slags perkolationsprocess är just p=0,5. Följande trikotomi gäller nämligen, med sannolikhet 1.2
  • För p<0,5 (exempelvis p=0,49999) uppstår en oändlig vit ocean med ändliga röda öar. På vissa av dessa öar förekommer sjöar, och i vissa av dessa sjöar förekommer öar, etc. Varje sjö och varje ö är emellertid del av en ändlig (och vanligen ganska kort) sådan ö-sjö-hierarki.
  • För p>0,5 (exempelvis p=0,50001) uppstår en oändlig röd kontinent med ändliga vita sjöar. I vissa av dessa sjöar förekommer öar, och på vissa av dessa öar förekommer sjöar, etc. Varje sjö och varje ö är del av en ändlig (och vanligen ganska kort) sådan ö-sjö-hierarki.
  • För p=0,5 uppstår varken någon oändlig kontinent eller någon oändlig ocean. Istället kommer varje ö att ligga i en sjö som ligger på en ö i en sjö på en ö i en sjö på en ö i en sjö... och så vidare i en oändlig hierarki.

Fotnoter

1) Perkolationsteori råkar också vara det område där jag gjort mina mest uppmärksammade vetenskapliga insatser.

2) Denna trikotomi bevisades slutgiltigt av John Wierman i en viktig uppsats från 1981, baserad på Harry Kestens motsvarande resultat för kantperkolation på kvadratgittret i en ännu viktigare uppsats från 1980. Dessa resultat kan ses som kulmen på den tidens omfattande studium av perkolation på plana gitter, och fokus kom därefter alltmer att förskjutas till högre dimensioner. Perkolation på bikakegittret fick emellertid under 00-talet en ny glansperiod tack vare nya insikter av bland andra Stanislav Smirnov och Oded Schramm.

12 kommentarer:

  1. Mycket intressant ämne Olle. Du säger "vanligen ganska kort" men borde det inte också med sannolikheten 1 vara fallet att det existerar ett oändligt antal ö-sjö-hierarkier som är högre en varje givet godtyckligt tal?

    SvaraRadera
    Svar
    1. Helt riktigt, guggebonds! Men för att hitta dessa behöver man vanligen leta sig långt bort från origo. Om p är skilt från 0,5 växer avståndet till närmaste hierarki av höjd n snabbare än exponentiellt i n.

      Radera
  2. Du motarbetar den filippinska turistmyndigheten med ditt påhitt om någon okänd kanadensisk ö. Sluta med det. Taal är ett väldigt häftigt ställe...

    SvaraRadera
  3. Den tekniska termen för "bikakemönster av sexhörningar" är "spelplan i krigsspel".

    SvaraRadera
    Svar
    1. Och jag som tyckte att jag var duktig som avhöll mig från matematikerjargongen "hexagonalt gitter"...

      Radera
  4. Angående fotnot 1 så undrar man vad du gjort de senaste 5 åren, förutom deltagit i den offentliga debatten om vad än du känt för på arbetstid?
    Är du inte lite väl ung för att dra sig tillbaka från forskningsfronten

    SvaraRadera
    Svar
    1. Vilken erbarmlig ynkedom att uppträda som anonym när man häver ur sig grundlösa antydningar om att jag inte skulle sköta mitt arbete. Jag sköter mitt föreståndarskap för en avdelning på Chalmers/GU med cirka 40 medarbetare, liksom en del andra viktiga uppdrag inklusive ett på VR, och min forskning rullar på. Skäms, Anonym 13:34!

      Radera
  5. Har pratat med en statistiker som jobbar under dig. Hon bor i mitt område. Hon säger att hon har en hård arbetsbörda. Jag tror hon också forskar förutom att undervisa. Kan du inte göra bördan lättare för henne än att syssla med rebusar och oroa dig för klimatet.

    den kristne schackspelaren henrik axelsson, son till proffessor i matematik owe axelsson.

    SvaraRadera
    Svar
    1. Så länge jag är avdelningsföreståndare, Henrik, så hör det till mina viktigaste uppgifter att verka för att mina medarbetare har goda arbetsförhållanden och lagom arbetsbörda. Men jag finner det synnerligen olämpligt att via ombud diskutera enskilda fall inför öppen ridå här på bloggen, och avböjer därför sådan diskussion.

      Din antydan om att mitt engagemang i klimatfrågan skulle gå ut över mitt sätt att sköta avdelningens ledarskap är ogrundad och oförskämd. Du verkar argumentera utifrån premissen att personer som har viktiga chefspositioner inte bör visa något samhällsengagemang i övrigt - en uppfattning som jag finner enfaldig och motbjudande, och som jag tror och hoppas att du är tämligen ensam om.

      Om du hittar sådant du tycker förtjänar kritik här på bloggen så får du gärna framföra sådan, men den bör då helst vara välgrundad och saklig. Om du istället fortsätter att uppträda utan normalt hyfs och anständighet måste jag däremot tyvärr be dig gå.

      Radera
  6. Jag måste vara en nörd-nörd för jag går igång på nördar som går igång. Så även om nördens specialområde är helt ointressant för mig.

    SvaraRadera
  7. Härligt nördigt. Tänk, om Grönland blir isfritt skulle bli serien största [sjö-på-ö] bli helt ommöblerad. För att inte tala om intressanta mellanformer under avisningen.

    SvaraRadera
  8. Kul. Det stora mysteriet för mig är varför det blir en ändlig hierarki, rent intuitivt skulle jag ha gissat på oändlig oberoende av p (föutom trivialfallen 0 eller 1).

    Som matematik- och fotbollsnörd blev jag dock lite störd av inledningen :-(

    SvaraRadera