Om framsteg inom matematiken

Denna bloggpost handlar om forskningsframsteg inom matematiken, och då menar jag verkligen inom på ett sätt som exkluderar (det i och för sig ofantligt viktiga) tillämpandet av matematiska metoder i andra ämnen. En vanlig föreställning är att sådana inommatematiska framsteg utgörs av formulerandet och bevisandet av nya matematiska satser.¹ Det ligger en hel del i denna föreställning, även om den är något grovhuggen, och idag vill jag lyfta fram en annan typ av framsteg som jag anser vara lika viktiga för matematikens framåtskridande, nämligen nya, enklare, kortare och helt enkelt bättre bevis av redan kända och bevisade satser.

Skälet till att den sortens framsteg är viktiga är följande. Matematik är en kumulativ verksamhet, där de framsteg som görs idag bygger på gårdagens, och kan på samma sätt väntas komma att ligga till grund för framtida framsteg. Nya satser och bevis bygger på gamla satser. Om nu dessa gamla satser har så komplicerade och svårtillgängliga bevis att inte dagens och morgondagens matematiker förmår smälta dem, så riskerar det intellektuella tankebygge som matematiken utgör att bli till en koloss på lerfötter där ingen längre begriper hur saker och ting egentligen hänger samman. Genom att lägga fram nya bevis som är enklare och mer lättilgängliga än originalbevisen (men naturligtvis fortsatt korrekta), så underlättar man för nya generationer matematiker att förstå den grund som de sedan hoppas kunna bygga vidare på.

Låt mig berätta om ett framsteg av detta slag som de båda unga franska matematikerna Hugo Duminil-Copin och Vincent Tassion nyligen gjort inom det område där jag själv på 90-talet fick mina främsta genombrott som matematiker: perkolationsteori. Detta område kan kort beskrivas som den gren av sannolikhetsteorin där man studerar modeller för genomsläpplighet i ostrukturerade material och konnektivitet i ostrukturerade nätverk. Det finns en uppsjö modeller inom perkolationsteorin, men en av de mest grundläggande är så kallad kantperkolation på Z^d-gittret med dimension d=2 eller högre. Detta gitter har noder i heltalspunkterna i det d-dimensionella euklidiska rummet, och länkar mellan varje par av närmsta grann-noder (dvs noder på euklidiskt avstånd 1 från varandra); för d=2 bildas på så vis ett kvadratiskt gitter, för d=3 ett kubiskt, och för högre d ett hyperkubiskt. Så långt är alltsammans perfekt strukturerat, men den oordning som är typisk för perkolationsmodeller fås genom att länkar raderas slumpmässigt. Vi fixerar den så kallade perkolationsparametern p mellan 0 och 1, raderar varje länk oberoende av varje annan med sannolikhet 1-p, och behåller den således med sannolikhet p. (Detta fungerar på liknande vis som den perkolationsmodell på bikakegitter som jag diskuterade i en tidigare bloggpost.)

Ett centralt och inte särskilt svårt resultat, som går tillbaka till perkolationsteorins barndom på 1950-talet, är existensen av ett kritiskt värde p_c sådant att existensen av en oändlig sammanhängande komponent i det därvid erhållna oordnade nätverket har sannolikhet 0 om p är i den så kallat subkritiska fasen p<p_c, men 1 om p är i den superkritiska fasen p>p_c. Det kritiska värdet för d=2 bevisades av Harry Kesten 1980 vara 1/2, medan exakta värden för p_c i högre dimensioner ännu inte är kända.

Följande bild av en realisering av denna perkolationsmodell med p=0,51 på Z² är hämtad från Wikipedia.

Detta är bara ett lite stycke av realiseringen, då mönstret fortsätter oändligt långt i alla riktningar. Parametern p är vald strax över det kritiska värdet, vilket garanterar existensen av en oändlig sammanhängande komponent av noder och länkar.

Om vi istället hade valt ett subkritiskt p, så hade vi enbart fått ändliga komponenter. Det betyder att om vi startar i en given nod och bara får gå längs kvarvarande länkar, och om vi med β_n betecknar sannolikheten att vi kan nå minst n längdenheter bort från ursprungsnoden, så går β_n mot 0 då n går mot oändligheten. Ett av perkolationsteorins centrala framsteg på 1980-talet var att det, oavsett dimension d, gäller att så snart p<p_c så går β_n inte bara mot 0, utan gör det exponentiellt snabbt i n (med andra ord: det existerar positiva konstanter a och b sådana att β_n<ae^-bn oavsett n). För den matematiskt obevandrade kan detta resultat synas oskyldigt, men det understryker kraftfullt hur skarp övergången mellan subkritisk och superkritisk perkolation är. Resultatet bevisades av Mikhail Menshikov (1986) och av Michael Aizenman och David Barsky (1987), oberoende av varandra, på var sin sida av den dåvarande järnridån, och med två helt olika bevis. Båda bevisen är tämligen omfattande, och jag minns hur jag som ung och grön doktorand vintern 1991-1992 slet hårt med att smälta och förstå dem. Jag förstod dem till slut, men de är så invecklade att jag idag knappast skulle kunna rekonstruera dem utan att kika i facit.

In i handlingen träder nu de båda herrarna Duminil-Copin och Tassion, och deras aktuella uppsats A new proof of the sharpness of the phase transition for Bernoulli percolation on Z^d, där de levererar ett kort och koncist bevis av det exponentiella avtagandet. Kort, koncist och enkelt - betydligt enklare än de båda ursprungliga bevisen av Menshikov respektive Aizenman och Barsky, vilka hittills varit standard. Det skall här medges att "enkelt" är ett relativt begrepp, och jag skulle inte rekommendera den läsare som inte redan är bevandrad i sannolikhetsteorin på åtminstone masternivå att ge sig i kast med att läsa uppsatsen, men för oss som är vana vid perkolationsteori är uppsatsen utmärkt lättsmält, och jag vågar mig nästan på att lova att om någon väcker mig mitt i natten om tio eller tjugo år och ber mig återge beviset så kommer jag att klara det.² Jag tackar Hugo Duminil-Copin och Vincent Tassion för att de på detta vis gjort perkolationsteorin lite klarare för mig och för våra kollegor.

Fotnoter

1) Två av de mest spektakulära exemplen på sådana framsteg på denna sida millennieskiftet är Grigori Perelmans bevis av Poincarés förmodan, och Yitang Zhangs epokgörande delresultat på väg mot etablerandet av existensen av oändligt många primtalstvillingar.

2) Nyckeln till att komma ihåg beviset är att återkalla deras definition av storheten φ_p(S) i början av uppsatsen, och att det avgörande är huruvida denna storhet är mindre än 1. När väl det är på plats går räkningarna mer eller mindre av sig själva. (Detta visste givetvis inte Duminil-Copin och Tassion när de första gången försökte sig på sitt argument, men mycket av det som gör en skicklig matematiker är att kunna ana sig till i förväg vad som är en relevant kvantitet att börja räkna på i ett givet sammanhang.)